Question

设 $z = a + bi$ 是满足 $|z| = 5$ 且 $b \gt 0$ 的复数，并且使 $(1 + 2i)z^3$ 与 $z^5$ 之间的距离达到最大。又设 $z^4 = c + di$ 。求 $c + d$ 。

Let $z = a + bi$ be the complex number with $|z| = 5$ and $b \gt 0$ such that the distance between $(1 + 2i)z^3$ and $z^5$ is maximized, and let $z^4 = c + di.$ Find $c + d.$

答案

答案：125

知识点：复数最优化

难度评级：2510

解答：

距离为 $|(1 + 2i)z^3 - z^5|$ $= |z|^3 \cdot |1 + 2i - z^2|$ $= 125\,|1 + 2i - z^2|$ 。当 $z$ 在圆 $|z| = 5$ 上且 $b \gt 0$ 时，平方 $z^2$ 可以取到圆 $|w| = 25$ 上的每一个点（条件 $b \gt 0$ 只是从两个平方根中选一个）。该圆上离 $1 + 2i$ 最远的点在直径相对方向： $\begin{aligned} z^2 &= -25 \cdot \frac{1 + 2i}{|1 + 2i|} \\ &= -5\sqrt{5}\,(1 + 2i). \end{aligned}$

平方得 $z^4 = 125\,(1 + 2i)^2$ $= 125\,(-3 + 4i)$ $= -375 + 500i$ ，所以 $c + d = -375 + 500 = 125$ 。

The distance is $|(1 + 2i)z^3 - z^5|$ $= |z|^3 \cdot |1 + 2i - z^2|$ $= 125\,|1 + 2i - z^2|.$ As $z$ runs over the circle $|z| = 5$ with $b \gt 0,$ the square $z^2$ attains every point of the circle $|w| = 25$ (the condition $b \gt 0$ merely selects one of the two square roots). The point of that circle farthest from $1 + 2i$ is diametrically opposite in direction: $\begin{aligned} z^2 &= -25 \cdot \frac{1 + 2i}{|1 + 2i|} \\ &= -5\sqrt{5}\,(1 + 2i). \end{aligned}$

Squaring, $z^4 = 125\,(1 + 2i)^2$ $= 125\,(-3 + 4i)$ $= -375 + 500i,$ so $c + d = -375 + 500 = 125.$

2012 AIME II 第 6 题

答案：125

难度评级：2510

解答：

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