1997 AIME 第 6 题

Question

点

B

位于正

n

边形

A_1A_2\cdots A_n

的外部，且

A_1A_2B

是等边三角形。若

A_n

、

A_1

、

B

是某个正多边形的连续三个顶点，求

n

的最大值。

Point

B

is in the exterior of the regular

n

-sided polygon

A_1A_2\cdots A_n,

and

A_1A_2B

is an equilateral triangle. What is the largest value of

n

for which

A_n,

A_1,

and

B

are consecutive vertices of a regular polygon?

答案

答案：42

知识点：正多边形角度和整除性

难度评级：2300

小提示：

在

A_1

处，

n

边形的内角、

60^\circ

角和

\angle BA_1A_n

合起来是

360^\circ

The

n

-gon’s interior angle, the

60^\circ

angle, and

\angle BA_1A_n

together fill

360^\circ

at

A_1

大提示：

令

\angle BA_1A_n

等于正

m

边形的内角，可得

\frac{1}{m} = \frac{1}{6} - \frac{1}{n}

，所以

n - 6

必须整除

36

Setting

\angle BA_1A_n

equal to the interior angle of a regular

m

-gon gives

\frac{1}{m} = \frac{1}{6} - \frac{1}{n},

so

n - 6

must divide

36

解答：

因为

B

在

n

边形外部，所以

A_1

处的三个角：内角

\angle A_nA_1A_2 = \frac{(n-2)180^\circ}{n}

、等边三角形的角

\angle A_2A_1B = 60^\circ

，以及

\angle BA_1A_n

，合起来是一整圈。因此

\begin{aligned} \angle BA_1A_n &= 300^\circ - \frac{(n-2)180^\circ}{n} \\ &= 120^\circ + \frac{360^\circ}{n} \end{aligned}\text{。}

又因为这两条边都等于

n

边形的边长，所以

A_nA_1 = A_1B

。

若

A_n

、

A_1

、

B

是正

m

边形的连续顶点，则这个角必须等于该正

m

边形的内角：

120^\circ + \frac{360^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{m}

，化简得

\frac{1}{m} = \frac{1}{6} - \frac{1}{n}

，所以

m = \frac{6n}{n - 6} = 6 + \frac{36}{n - 6}

。

因此

n - 6

必须整除

36

。最大选择为

n - 6 = 36

，即

n = 42

（此时

m = 7

）。

Since

B

is outside the

n

-gon, the angles at

A_1

— the interior angle

\angle A_nA_1A_2 = \frac{(n-2)180^\circ}{n},

the equilateral angle

\angle A_2A_1B = 60^\circ,

and

\angle BA_1A_n

— fill a full revolution, so

\begin{aligned} \angle BA_1A_n &= 300^\circ - \frac{(n-2)180^\circ}{n} \\ &= 120^\circ + \frac{360^\circ}{n}. \end{aligned}

Also

A_nA_1 = A_1B,

since both equal the side of the

n

-gon.

For

A_n,

A_1,

B

to be consecutive vertices of a regular

m

-gon, this angle must be the

m

-gon’s interior angle:

120^\circ + \frac{360^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{m},

which simplifies to

\frac{1}{m} = \frac{1}{6} - \frac{1}{n},

so

m = \frac{6n}{n - 6} = 6 + \frac{36}{n - 6}.

Thus

n - 6

must divide

36,

and the largest choice is

n - 6 = 36,

i.e.

n = 42

(with

m = 7

).

1997 AIME 第 6 题

答案：42

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

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