Question

点 $B$ 位于正 $n$ 边形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的外部，且 $A_1A_2B$ 是等边三角形。若 $A_n$ 、 $A_1$ 、 $B$ 是某个正多边形的连续三个顶点，求 $n$ 的最大值。

Point $B$ is in the exterior of the regular $n$ -sided polygon $A_1A_2\cdots A_n,$ and $A_1A_2B$ is an equilateral triangle. What is the largest value of $n$ for which $A_n,$ $A_1,$ and $B$ are consecutive vertices of a regular polygon?

答案

答案：42

知识点：正多边形角度和整除性

难度评级：2300

解答：

因为 $B$ 在 $n$ 边形外部，所以 $A_1$ 处的三个角：内角 $\angle A_nA_1A_2 = \frac{(n-2)180^\circ}{n}$ 、等边三角形的角 $\angle A_2A_1B = 60^\circ$ ，以及 $\angle BA_1A_n$ ，合起来是一整圈。因此又因为这两条边都等于 $n$ 边形的边长，所以 $A_nA_1 = A_1B$ 。 $\begin{aligned} \angle BA_1A_n &= 300^\circ - \frac{(n-2)180^\circ}{n} \\ &= 120^\circ + \frac{360^\circ}{n}. \end{aligned}$

若 $A_n$ 、 $A_1$ 、 $B$ 是正 $m$ 边形的连续顶点，则这个角必须等于该正 $m$ 边形的内角： $120^\circ + \frac{360^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{m}$ ，化简得 $\frac{1}{m} = \frac{1}{6} - \frac{1}{n}$ ，所以 $m = \frac{6n}{n - 6} = 6 + \frac{36}{n - 6}$ 。

因此 $n - 6$ 必须整除 $36$ 。最大选择为 $n - 6 = 36$ ，即 $n = 42$ （此时 $m = 7$ ）。

Since $B$ is outside the $n$ -gon, the angles at $A_1$ — the interior angle $\angle A_nA_1A_2 = \frac{(n-2)180^\circ}{n},$ the equilateral angle $\angle A_2A_1B = 60^\circ,$ and $\angle BA_1A_n$ — fill a full revolution, so $\begin{aligned} \angle BA_1A_n &= 300^\circ - \frac{(n-2)180^\circ}{n} \\ &= 120^\circ + \frac{360^\circ}{n}. \end{aligned}$ Also $A_nA_1 = A_1B,$ since both equal the side of the $n$ -gon.

For $A_n,$ $A_1,$ $B$ to be consecutive vertices of a regular $m$ -gon, this angle must be the $m$ -gon's interior angle: $120^\circ + \frac{360^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{m},$ which simplifies to $\frac{1}{m} = \frac{1}{6} - \frac{1}{n},$ so $m = \frac{6n}{n - 6} = 6 + \frac{36}{n - 6}.$

Thus $n - 6$ must divide $36,$ and the largest choice is $n - 6 = 36,$ i.e. $n = 42$ (with $m = 7$ ).

1997 AIME 第 6 题

答案：42

难度评级：2300

解答：

其他年份的第 6 题