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1956 AMC 12 Problema 37

Intenta el Problema 37 del 1956 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1956 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

37.

En un mapa cuya escala es de 400400 millas por pulgada y media, cierta propiedad está representada por un rombo con un ángulo de 60∘.60^\circ. La diagonal opuesta al ángulo de 60∘60^\circ mide 316\dfrac3{16} pulgadas. El área de la propiedad en millas cuadradas es:
On a map whose scale is 400400 miles to an inch and a half, a certain estate is represented by a rhombus having a 60∘60^\circ angle. The diagonal opposite 60∘60^\circ is 316\dfrac3{16} in. The area of the estate in square miles is:
25003\dfrac{2500}{\sqrt3}
12503\dfrac{1250}{\sqrt3}
12501250
562532\dfrac{5625\sqrt3}{2}
125031250\sqrt3
Respuesta: E
Conceptos:map scaleromboequilateral trianglesárea
Nivel de dificultad: 2210
Pista pequeña:
En un rombo con un ángulo de 60∘,60^\circ, la diagonal más corta es igual al lado
In a 60∘60^\circ rhombus, the shorter diagonal equals the side length
Pista grande:
La escala es de 8003\frac{800}{3} millas por pulgada; convierte primero el lado de 316\frac{3}{16} de pulgada antes de hallar el área
The scale is 8003\frac{800}{3} miles per inch, so convert the 316\frac{3}{16}-inch side before finding area
Solución:
La diagonal opuesta al ángulo de 60∘60^\circ divide el rombo en dos triángulos equiláteros, de modo que su longitud es igual al lado del rombo. La escala del mapa es de 8003\frac{800}{3} millas por pulgada, por lo que la longitud real del lado es 316⋅8003=50 \frac3{16}\cdot\frac{800}{3}=50 millas. Por lo tanto, el área del rombo es 502sin⁡60∘=2500⋅32=12503. \begin{aligned} 50^2\sin60^\circ &=2500\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=1250\sqrt3. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The diagonal opposite the 60∘60^\circ angle divides the rhombus into two equilateral triangles, so its length equals the rhombus side. The map scale is 8003\frac{800}{3} miles per inch, hence the actual side length is 316⋅8003=50 \frac3{16}\cdot\frac{800}{3}=50 miles. Therefore the rhombus area is 502sin⁡60∘=2500⋅32=12503. \begin{aligned} 50^2\sin60^\circ &=2500\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=1250\sqrt3. \end{aligned}
Thus, the correct answer is E.
Problema 36#36
Examen completo
Problema 38#38

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