1956 AMC 12 Problema 36

Question

Si la suma

1+2+3+\cdots+K

es un cuadrado perfecto

N^2

y

N

es menor que

100,

entonces los valores posibles de

K

son:

If the sum

1+2+3+\cdots+K

is a perfect square

N^2

and if

N

is less than

100,

then the possible values for

K

are:

solo

1

only

1

1

y

8

1

and

8

solo

8

only

8

8

y

49

8

and

49

1,

8,

y

49

1,

8,

and

49

Respuesta: E

Conceptos:triangular square numbers Pell equation recurrence

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Reescribe

\frac{K(K+1)}{2}=N^2

como

(2K+1)^2-8N^2=1

Rewrite

\frac{K(K+1)}{2}=N^2

as

(2K+1)^2-8N^2=1

Pista grande:

Genera soluciones positivas sucesivas multiplicando

(2K+1)+N\sqrt8

por

3+\sqrt8,

y detente cuando

N\ge100

Generate successive positive solutions by multiplying

(2K+1)+N\sqrt8

by

3+\sqrt8,

stopping when

N\ge100

Solución:

La condición es

\frac{K(K+1)}2=N^2,

o bien

(2K+1)^2-8N^2=1.

Las soluciones positivas de esta ecuación de Pell se generan a partir de la solución fundamental

3+\sqrt8.

Sus primeros pares

(2K+1,N)

son

\begin{aligned} &(3,1),\ (17,6),\\ &(99,35),\ (577,204),\ldots \end{aligned}

Por tanto, los valores con

N\lt100

son

K=1,8,49.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The condition is

\frac{K(K+1)}2=N^2,

or

(2K+1)^2-8N^2=1.

The positive solutions of this Pell equation are generated from the fundamental solution

3+\sqrt8.

Their first pairs

(2K+1,N)

are

\begin{aligned} &(3,1),\ (17,6),\\ &(99,35),\ (577,204),\ldots \end{aligned}

Thus the values with

N\lt100

are

K=1,8,49.

Therefore, the correct answer is E.