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1954 AMC 12 Problema 31

Intenta el Problema 31 del 1954 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1954 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

31.

En el triángulo ABC,ABC, AB‾=AC‾,\overline{AB}=\overline{AC}, y ∠A=40∘.\angle A=40^\circ. El punto OO está dentro del triángulo y cumple ∠OBC≅∠OCA.\angle OBC\cong\angle OCA. El número de grados del ángulo BOCBOC es:
In triangle ABC,ABC, AB‾=AC‾,\overline{AB}=\overline{AC}, ∠A=40∘.\angle A=40^\circ. Point OO is within the triangle with ∠OBC≅∠OCA.\angle OBC\cong\angle OCA. The number of degrees in angle BOCBOC is:
110110
3535
140140
5555
7070
Respuesta: A
Conceptos:triángulo isóscelespersecución de ángulossuma de ángulos
Nivel de dificultad: 1780
Pista pequeña:
Los dos ángulos de la base del triángulo ABCABC miden 70∘70^\circ
The base angles of triangle ABCABC are both 70∘70^\circ
Pista grande:
Si los ángulos iguales miden x,x, entonces la otra parte del ángulo CC mide 70∘−x70^\circ-x
If the equal angles are x,x, then the other part of angle CC is 70∘−x70^\circ-x
Solución:
Los ángulos de la base del triángulo isósceles son ∠ABC=∠BCA=70∘. \angle ABC=\angle BCA=70^\circ. Sea ∠OBC=∠OCA=x.\angle OBC=\angle OCA=x. Entonces ∠OCB=70∘−x.\angle OCB=70^\circ-x. En el triángulo BOC,BOC, ∠BOC=180∘−x−(70∘−x)=110∘. \begin{aligned} \angle BOC &=180^\circ-x\\ &\quad{}-(70^\circ-x)\\ &=110^\circ. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The base angles of the isosceles triangle are ∠ABC=∠BCA=70∘. \angle ABC=\angle BCA=70^\circ. Put ∠OBC=∠OCA=x.\angle OBC=\angle OCA=x. Then ∠OCB=70∘−x.\angle OCB=70^\circ-x. In triangle BOC,BOC, ∠BOC=180∘−x−(70∘−x)=110∘. \begin{aligned} \angle BOC &=180^\circ-x\\ &\quad{}-(70^\circ-x)\\ &=110^\circ. \end{aligned}
Thus, the correct answer is A.
Problema 30#30
Examen completo
Problema 32#32

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