1956 AMC 12 第 36 题

Question

若和

1+2+3+\cdots+K

是完全平方数

N^2

，且

N

小于

100

，则

K

的可能值为：

If the sum

1+2+3+\cdots+K

is a perfect square

N^2

and if

N

is less than

100,

then the possible values for

K

are:

只有

1

only

1

1

和

8

1

and

8

只有

8

only

8

8

和

49

8

and

49

1

、

8

和

49

1,

8,

and

49

答案：E

知识点：triangular square numbers Pell equation recurrence

难度评级：2450

小提示：

将

\frac{K(K+1)}{2}=N^2

改写为

(2K+1)^2-8N^2=1

Rewrite

\frac{K(K+1)}{2}=N^2

as

(2K+1)^2-8N^2=1

大提示：

将

(2K+1)+N\sqrt8

依次乘以

3+\sqrt8

来生成正整数解，并在

N\ge100

时停止

Generate successive positive solutions by multiplying

(2K+1)+N\sqrt8

by

3+\sqrt8,

stopping when

N\ge100

解答：

题设条件为

\frac{K(K+1)}2=N^2\text{，}

即

(2K+1)^2-8N^2=1\text{。}

这个佩尔方程的正整数解由基本解

3+\sqrt8

生成。最前面的几组

(2K+1,N)

为

\begin{aligned} &(3,1),\ (17,6),\\ &(99,35),\ (577,204),\ldots \end{aligned}

因此，满足

N\lt100

的值为

K=1,8,49

。

因此，正确答案是 E。

The condition is

\frac{K(K+1)}2=N^2,

or

(2K+1)^2-8N^2=1.

The positive solutions of this Pell equation are generated from the fundamental solution

3+\sqrt8.

Their first pairs

(2K+1,N)

are

\begin{aligned} &(3,1),\ (17,6),\\ &(99,35),\ (577,204),\ldots \end{aligned}

Thus the values with

N\lt100

are

K=1,8,49.

Therefore, the correct answer is E.

1956 AMC 12 第 36 题

答案：E

难度评级：2450

小提示：

大提示：

解答：

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