2024 AMC 10B 第 23 题

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23.

斐波那契数列定义为

F_1 = 1

、

F_2 = 1

，且当

n \ge 3

时

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

。下式的值是多少？

\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}\text{？}

The Fibonacci numbers are defined by

F_1 = 1,

F_2 = 1,

and

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

for

n \ge 3.

What is

\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?

318

319

320

321

322

答案：B

知识点：斐波那契数列求和

难度评级：2270

小提示：

每一项是

\dfrac{F_{2k}}{F_k}

；使用恒等式

F_{2k} = F_k L_k

，其中

L_k

是卢卡斯数。

Each term is

\dfrac{F_{2k}}{F_k};

use the identity

F_{2k} = F_k L_k,

where

L_k

is the Lucas number

大提示：

和式变为

L_1 + L_2 + \cdots + L_{10}

；卢卡斯数满足

\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3

。

The sum becomes

L_1 + L_2 + \cdots + L_{10};

sums of Lucas numbers satisfy

\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3

解答：

使用

F_{2k} = F_k L_k

，于是每一项

\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k

，即第

k

个卢卡斯数。原和变为

\sum_{k=1}^{10} L_k

。由于

L_1 = 1

，

L_2 = 3

，

L_3 = 4

，

\ldots

，

L_{10} = 123

，恒等式

\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3

给出

L_{12} - 3 = 322 - 3 = 319

。因此正确答案是 B。

Use

F_{2k} = F_k L_k,

so each term

\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k,

the

k

th Lucas number. That collapses the sum to

\sum_{k=1}^{10} L_k.

With

L_1 = 1,

L_2 = 3,

L_3 = 4,

\ldots,

L_{10} = 123,

the identity

\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3

gives

L_{12} - 3 = 322 - 3 = 319.

Thus, B is the correct answer.