Question

四边形 $ABCD$ 是平行四边形， $E$ 是边 $\overline{AD}$ 的中点。令 $F$ 为直线 $EB$ 和 $AC$ 的交点。四边形 $CDEF$ 的面积与三角形 $CFB$ 的面积之比是多少？

Quadrilateral $ABCD$ is a parallelogram, and $E$ is the midpoint of the side $\overline{AD}.$ Let $F$ be the intersection of lines $EB$ and $AC.$ What is the ratio of the area of quadrilateral $CDEF$ to the area of triangle $CFB?$

$5 : 4$

$4 : 3$

$3 : 2$

$5 : 3$

$2 : 1$

答案：A

知识点：平行四边形面积比坐标几何鞋带公式

难度评级：1440

解答：

面积比在仿射变换下不变，所以取方便坐标： $A = (0,0)$ 、 $B = (1,0)$ 、 $C = (1,1)$ 、 $D = (0,1)$ ，此时 $E = (0, \tfrac12)$ 。直线 $AC$ 为 $y = x$ ，直线 $EB$ 从 $(0, \tfrac12)$ 到 $(1, 0)$ ，它们相交于 $F = (\tfrac13, \tfrac13)$ 。用鞋带公式可得四边形 $CDEF$ 的面积为 $\tfrac{5}{12}$ ，三角形 $CFB$ 的面积为 $\tfrac13$ 。所以比值为 $\tfrac{5}{12} : \tfrac13 = 5 : 4$ 。因此正确答案是 A。

Area ratios don't change under an affine map, so drop in convenient coordinates: $A = (0,0),$ $B = (1,0),$ $C = (1,1),$ $D = (0,1),$ which makes $E = (0, \tfrac12).$ Line $AC$ is $y = x,$ and line $EB$ runs from $(0, \tfrac12)$ to $(1, 0);$ they cross at $F = (\tfrac13, \tfrac13).$ The shoelace formula gives quadrilateral $CDEF$ area $\tfrac{5}{12}$ and triangle $CFB$ area $\tfrac13.$ So the ratio is $\tfrac{5}{12} : \tfrac13 = 5 : 4.$ Therefore, the answer is A.

2024 AMC 10B 第 10 题

答案：A

难度评级：1440

解答：

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