Question

$N$ 的正整数因数 $a$ 和 $b$ 称为互补的，如果 $ab = N$ 。已知 $N$ 有一对相差 $20$ 的互补因数，也有一对相差 $23$ 的互补因数，求 $N$ 的各位数字之和。

Positive integer divisors $a$ and $b$ of $N$ are called complementary if $ab = N.$ Given that $N$ has a pair of complementary divisors that differ by $20$ and a pair of complementary divisors that differ by $23,$ find the sum of the digits of $N.$

$11$

$13$

$15$

$17$

$19$

答案：C

知识点：平方差因数丢番图方程

难度评级：2380

解答：

相差 $20$ 的互补因数为 $b$ 和 $b + 20$ ，乘积为 $N$ ，所以 $N = b^2 + 20b$ ，且 $N + 100 = (b + 10)^2$ 。相差 $23$ 的一对给出 $4N + 529 = (2d + 23)^2$ 。设 $N + 100 = k^2$ 。则 $4k^2 + 129 = m^2$ ，所以 $(m - 2k)(m + 2k)$ $= 129$ $= 3 \cdot 43$ 。正因数对 $3,43$ 给出 $k=10$ ，从而得到不合要求的 $N=0$ 。因数对 $1,129$ 给出 $m = 65$ 、 $k = 32$ ，于是 $N = 32^2 - 100 = 924$ 。检验： $924 = 22 \cdot 42 = 21 \cdot 44$ ，数字和为 $9 + 2 + 4 = 15$ 。因此，正确答案是 C。

Complementary divisors differing by $20$ are $b$ and $b + 20$ with product $N$ , so $N = b^2 + 20b$ and $N + 100 = (b + 10)^2$ . A pair differing by $23$ gives $4N + 529 = (2d + 23)^2$ . Set $N + 100 = k^2$ . Then $4k^2 + 129 = m^2$ , so $(m - 2k)(m + 2k)$ $= 129$ $= 3 \cdot 43$ . The positive factor pair $3,43$ gives $k=10$ , hence the inadmissible value $N=0$ . The pair $1,129$ gives $m = 65$ , $k = 32$ , hence $N = 32^2 - 100 = 924$ . Check it: $924 = 22 \cdot 42 = 21 \cdot 44$ , and the digit sum is $9 + 2 + 4 = 15$ . Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 10A 第 23 题

答案：C

难度评级：2380

解答：

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