Question

Camila 写下五个正整数。这些整数的唯一众数比中位数大 $2$ ，且中位数比算术平均数大 $2$ 。众数的最小可能值是多少？

Camila writes down five positive integers. The unique mode of these integers is $2$ greater than their median, and the median is $2$ greater than their arithmetic mean. What is the least possible value for the mode?

$\ 5$

$\ 7$

$\ 9$

$\ 11$

$\ 13$

答案：D

知识点：平均数中位数（数据）众数最优化

难度评级：1660

解答：

设五个数按从小到大为 $a,b,c,d,e$ 。中位数为 $c$ ，众数为 $c+2$ 。

因为众数大于中位数且唯一，最后两个数必须都是 $c+2$ ，所以数列为 $a,b,c,c+2,c+2$ 。

平均数为 $c-2$ ，于是化简得 $a+b+3c+4=5c-10$ ，所以 $a+b=2c-14$ 。 $\begin{aligned} &\frac{a+b+c+(c+2)+(c+2)}{5} \\ &\quad = c-2. \end{aligned}$

为了让众数唯一， $a$ 和 $b$ 必须是不同的正整数，且都小于 $c$ 。由于 $a+b=2c-14$ 为偶数，最小可行和为 $1+3=4$ ，所以 $2c-14\ge4$ ，即 $c\ge9$ 。

因此最小可能众数为 $c+2=11$ ，并且 $1,3,9,11,11$ 确实可行。

所以正确答案是 D。

Let the integers in increasing order be $a,b,c,d,e.$ The median is $c,$ and the unique mode is $c+2.$

Because the mode is larger than the median and is unique, the last two entries must both be $c+2,$ so the list is $a,b,c,c+2,c+2.$

The mean is $c-2,$ so $\begin{aligned} &\frac{a+b+c+(c+2)+(c+2)}{5} \\ &\quad = c-2. \end{aligned}$ Hence $a+b+3c+4=5c-10,$ so $a+b=2c-14.$

To keep the mode unique, $a$ and $b$ must be distinct positive integers, both less than $c.$ Since $a+b=2c-14$ is even, the smallest such sum is $1+3=4,$ so $2c-14\ge4,$ giving $c\ge9.$

The smallest possible mode is therefore $c+2=11,$ and it is attainable with $1,3,9,11,11.$

Thus, the answer is D .

2022 AMC 10B 第 10 题

答案：D

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 10 题