Question

令 $N$ 为正整数 $7777\ldots777$ ，这是一个 $313$ 位数且每一位都是 $7$ 。令 $f(r)$ 为 $N$ 的 $r$ 次方根的首位数字。求？ $\begin{aligned} &f(2)+f(3)+f(4)\\ &\quad{}+f(5)+f(6)? \end{aligned}$

Let $N$ be the positive integer $7777\ldots777,$ a $313$ -digit number where each digit is a $7.$ Let $f(r)$ be the leading digit of the $r$ th root of $N.$ What is $\begin{aligned} &f(2)+f(3)+f(4)\\ &\quad{}+f(5)+f(6)? \end{aligned}$

$8$

$9$

$11$

$22$

$29$

答案：A

知识点：数字指数极限情形界定

难度评级：1990

解答：

数 $N$ 满足乘除 $10$ 的幂只会移动小数点，因此每次只需关注取出合适 $10$ 的幂后剩余的首因子。 $7\cdot10^{312}\lt N\lt 8\cdot10^{312}.$

对 $r=2$ ， $\sqrt N$ 的首因子在 $\sqrt7$ 和 $\sqrt8$ 之间，所以 $f(2)=2$ 。

对 $r=3$ ，首因子在 $\sqrt[3]{7}$ 和 $\sqrt[3]{8}$ 之间，所以 $f(3)=1$ 。对 $r=4$ ，首因子在 $\sqrt[4]{7}$ 和 $\sqrt[4]{8}$ 之间，所以 $f(4)=1$ 。

对 $r=5$ ，因为 $312=5\cdot62+2$ ，首因子在 $\sqrt[5]{700}$ 和 $\sqrt[5]{800}$ 之间。由于 $3^5\lt700\lt800\lt4^5$ ，得 $f(5)=3$ 。

对 $r=6$ ，首因子在 $\sqrt[6]{7}$ 和 $\sqrt[6]{8}$ 之间，所以 $f(6)=1$ 。总和为 $2+1+1+3+1=8$ 。

所以答案是 A。

The number $N$ satisfies $7\cdot10^{312}\lt N\lt 8\cdot10^{312}.$ Multiplying or dividing by a power of $10$ only shifts the decimal point, so we only need the leading factor left after taking out the largest convenient power of $10.$

For $r=2,$ $\sqrt N$ has leading factor between $\sqrt7$ and $\sqrt8,$ so $f(2)=2.$

For $r=3,$ the leading factor is between $\sqrt[3]{7}$ and $\sqrt[3]{8},$ so $f(3)=1.$ For $r=4,$ the leading factor is between $\sqrt[4]{7}$ and $\sqrt[4]{8},$ so $f(4)=1.$

For $r=5,$ since $312=5\cdot62+2,$ the leading factor is between $\sqrt[5]{700}$ and $\sqrt[5]{800}.$ Since $3^5\lt700\lt800\lt4^5,$ $f(5)=3.$

For $r=6,$ the leading factor is between $\sqrt[6]{7}$ and $\sqrt[6]{8},$ so $f(6)=1.$ The sum is $2+1+1+3+1=8.$

Thus, the answer is A .

2021 AMC 10B Fall 第 19 题

答案：A

难度评级：1990

解答：

其他年份的第 19 题