2021 AMC 10A Fall 第 23 题

Question

对每个正整数

n

，令

f_1(n)

为

n

的正因数个数的两倍；对于

j \ge 2

，令

f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n))

。有多少个

n \le 50

满足

f_{50}(n) = 12

？

For each positive integer

n,

let

f_1(n)

be twice the number of positive integer divisors of

n,

and for

j \ge 2,

let

f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).

For how many values of

n \le 50

is

f_{50}(n) = 12?

7

8

9

10

11

答案：D

知识点：因数个数递推逆推法

难度评级：2130

小提示：

f_1(n)=12

表示

n

有

6

个因数。

f_1(n)=12

means

n

has

6

divisors

大提示：

还要检查

f_1(n)=18

或

20

，因为它们下一步会映到

12

。

Also check

f_1(n)=18

or

20,

since those map to

12

数值

12

是固定点，因为

12

有

6

个正因数，所以

f_1(12)=12

。

先找所有满足

n\le50

且

f_1(n)=12

的

n

，也就是有

6

个因数的数：

12,18,20,28,32,44,45,50\text{。}

再检查

f_1(n)

在到达

12

之前能否取到上述其他值。由于

f_1(n)

是因数个数的两倍，列表中只有

18

和

20

有用，分别表示

n

有

9

或

10

个因数。

对

n\le50

，额外的可能为

36

（有

9

个因数）和

48

（有

10

个因数）。因此共有

8+2=10

个

n

。

所以正确答案是 D。

The value

12

is fixed by the function, since

12

has

6

positive divisors and therefore

f_1(12)=12.

First find all

n\le50

with

f_1(n)=12,

meaning

n

has

6

divisors. These are

12,18,20,28,32,44,45,50.

Now check whether

f_1(n)

can be one of these values before reaching

12.

Since

f_1(n)

is twice a divisor count, the only useful possibilities in that list are

18

and

20,

meaning

n

has

9

or

10

divisors.

For

n\le50,

the additional possibilities are

36,

which has

9

divisors, and

48,

which has

10

divisors. Therefore there are

8+2=10

values of

n.

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 23 题

答案：D

难度评级：2130

小提示：

大提示：

解答：

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