Question

小于 $2019$ 的正整数中，其以七为底的表示的各位数字之和最大可能是多少？

What is the greatest possible sum of the digits in the base-seven representation of a positive integer less than $2019?$

$11$

$14$

$22$

$23$

$27$

答案：C

知识点：进制数字最优化

难度评级：1430

解答：

首先， $2019=5613_7$ 。任何首位不超过 $4$ 的数，其数位和至多为 $4+6+6+6=22$ ，而 $4666_7<5613_7$ 达到了这个数位和。

若首位为 $5$ ，则第二位不超过 $5$ 时，数位和至多为 $5+5+6+6=22$ 。若前两位是 $56$ ，与 $5613_7$ 比较可知，末两位的数位和至多为 $1+2$ ，得到更小的总和。因此最大的数位和是 $22$ 。

所以答案是 C。

First, $2019=5613_7$ . Any number with leading digit at most $4$ has digit sum at most $4+6+6+6=22$ , and $4666_7<5613_7$ attains that sum.

If the leading digit is $5$ , then a second digit at most $5$ gives digit sum at most $5+5+6+6=22$ . If the first two digits are $56$ , comparison with $5613_7$ forces the last two digits to contribute at most $1+2$ , giving an even smaller sum. Therefore, the largest digit sum is $22$ .

Thus, the answer is C .

2019 AMC 10B 第 12 题

答案：C

难度评级：1430

解答：

其他年份的第 12 题