2019 AMC 10A 第 23 题

Question

Travis 要照看难缠的 Thompson 三胞胎。知道他们喜欢大数，Travis 为他们设计了一个数数游戏。先由 Tadd 说数字

1

，然后 Todd 必须说接下来的两个数（

2

和

3

），接着 Tucker 必须说接下来的三个数（

4

、

5

、

6

），再由 Tadd 说接下来的四个数（

7

、

8

、

9

、

10

）。此后仍按三个孩子的顺序轮流，每个孩子说的数都比前一个孩子多一个，直到数到

10{,}000

。Tadd 说出的第

2019

个数是多少？

Travis has to babysit the terrible Thompson triplets. Knowing that they love big numbers, Travis devises a counting game for them. First Tadd will say the number

1,

then Todd must say the next two numbers (

2

and

3

), then Tucker must say the next three numbers (

4,

5,

6

), then Tadd must say the next four numbers (

7,

8,

9,

10

), and the process continues to rotate through the three children in order, each saying one more number than the previous child did, until the number

10{,}000

is reached. What is the

2019

th number said by Tadd?

5743

5885

5979

6001

6011

答案：C

知识点：等差数列三角形数求和

难度评级：2080

小提示：

Tadd 每次轮到他说的长度形成等差数列

1,4,7,\ldots

。

Tadd’s turn lengths form the arithmetic sequence

1,4,7,\ldots

大提示：

找出 Tadd 的第

2019

个数落在哪一次轮到他的发言中。

Find which Tadd turn contains his

2019

th number

解答：

Tadd 每次发言的长度依次为

1,4,7,\ldots

。在 Tadd 发言

n

次后，他共说了

\sum_{i=1}^n (3i-2)=\frac{3n^2-n}{2}

个数。

当

n=36

时，这个总数为

1926

；当

n=37

时则为

2035

。因此，Tadd 说出的第

2019

个数，是他第

37

次发言中的第

(2019-1926)=93

个数。

在这次发言之前，三个孩子已经完成了长度从

1

到

108

的各轮发言，共说了

1+2+\cdots+108=5886

个数。下一轮的第

93

个数是

5886+93=5979

。所以正确答案是 C。

Tadd speaks on turns of lengths

1,4,7,\ldots

. After

n

of Tadd’s turns, he has said

\sum_{i=1}^n (3i-2)=\frac{3n^2-n}{2}

numbers.

For

n=36

, this total is

1926

, while for

n=37

it is

2035

. Therefore Tadd’s

2019

th number is the

(2019-1926)=93

rd number of his

37

th turn.

Before that turn, the children have completed turns of lengths

1

through

108

, saying

1+2+\cdots+108=5886

numbers. The

93

rd number of the next turn is

5886+93=5979

. Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 10A 第 23 题

答案：C

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

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