2018 AMC 10B 第 20 题

Question

函数

f

递归定义为

f(1) = f(2) = 1

，且

f(n) = f(n - 1) - f(n - 2) + n

对所有整数

n \ge 3

成立。求

f(2018)

。

A function

f

is defined recursively by

f(1) = f(2) = 1

and

f(n) = f(n - 1) - f(n - 2) + n

for all integers

n \ge 3.

What is

f(2018)?

2016

2017

2018

2019

2020

答案：B

知识点：递推找规律

难度评级：1910

小提示：

寻找形如

f(n) = n + c

的特解；减去它后得到

g(n) = g(n-1) - g(n-2)

。

Look for a particular solution of the form

f(n) = n + c;

subtracting it leaves

g(n) = g(n-1) - g(n-2)

大提示：

这个齐次递推的周期为

6

；把

2018

对

6

取模。

That homogeneous recursion is periodic with period

6;

reduce

2018

modulo

6

解答：

注意

f(n) = n + 1

本身就满足这个递推式，因此令

f(n) = (n + 1) + g(n)

，则

g

满足对应的齐次递推

g(n) = g(n-1) - g(n-2)

。由初值得

g(1) = -1

且

g(2) = -2

，于是序列以

6

为周期循环：

-1, -2, -1, 1, 2, 1, \ldots

。因为

2018 \equiv 2 \pmod 6

，所以

g(2018) = -2

，于是

f(2018) = 2019 - 2 = 2017

。正确答案是 B。

Notice

f(n) = n + 1

solves the recurrence on its own, so write

f(n) = (n + 1) + g(n).

Then

g

satisfies the homogeneous version

g(n) = g(n-1) - g(n-2).

With

g(1) = -1

and

g(2) = -2,

it cycles with period

6

:

-1, -2, -1, 1, 2, 1, \ldots.

Since

2018 \equiv 2 \pmod 6,

we get

g(2018) = -2,

so

f(2018) = 2019 - 2 = 2017.

Therefore, the answer is B.

2018 AMC 10B 第 20 题

答案：B

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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