2017 AMC 10B 第 19 题

Question

设

ABC

是等边三角形。将边

\overline{AB}

过

B

延长到点

B'

，使

BB'=3 \cdot AB

。类似地，将

\overline{BC}

过

C

延长到

C'

，使

CC'=3 \cdot BC

，将

\overline{CA}

过

A

延长到

A'

，使

AA'=3 \cdot CA

。

\triangle A'B'C'

的面积与

\triangle ABC

的面积之比是多少？

Let

ABC

be an equilateral triangle. Extend side

\overline{AB}

beyond

B

to a point

B'

so that

BB'=3 \cdot AB.

Similarly, extend side

\overline{BC}

beyond

C

to a point

C'

so that

CC'=3 \cdot BC,

and extend side

\overline{CA}

beyond

A

to a point

A'

so that

AA'=3 \cdot CA.

What is the ratio of the area of

\triangle A'B'C'

to the area of

\triangle ABC?

9:1

16:1

25:1

36:1

37:1

答案：E

知识点：面积比等边三角形三角形面积

难度评级：1860

小提示：

把大三角形分成原三角形和周围的六个三角形。

Break the large triangle into the original triangle and six surrounding triangles

大提示：

用底和高比较每个周围三角形与原三角形的面积。

Compare each surrounding triangle area to the original using base and height

解答：

设

\triangle ABC

的面积为

X

。

\triangle BB'C

、

\triangle CC'A

和

\triangle AA'B

的底边都是

\triangle ABC

对应边的三倍，而对应的高相同。因此它们的面积都是

3X

。

接着，

\triangle AA'C'

的底是

\triangle ACC'

的三倍，高相同；后者面积为

3X

。所以

\triangle AA'C'

的面积为

9X

。同理，

\triangle CC'B'

和

\triangle BB'A'

的面积也都是

9X

。

这七个区域恰好分割大三角形，所以

\begin{aligned}[A'B'C']&=X+3(3X)+3(9X)\\&=37X\end{aligned}\text{。}

所求比为

37:1

。

所以正确答案是 E。

Let

X

be the area of

\triangle ABC.

Each of

\triangle BB'C,

\triangle CC'A,

and

\triangle AA'B

has a base three times as long as a side of

\triangle ABC

and the same corresponding altitude. Each therefore has area

3X.

Next,

\triangle AA'C'

has three times the base and the same altitude as

\triangle ACC',

whose area is

3X.

Thus

\triangle AA'C'

has area

9X.

Similarly,

\triangle CC'B'

and

\triangle BB'A'

each have area

9X.

These seven regions partition the large triangle, so

\begin{aligned}[A'B'C']&=X+3(3X)+3(9X)\\&=37X.\end{aligned}

The requested ratio is

37:1.

Thus, the correct answer is E .

2017 AMC 10B 第 19 题

答案：E

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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