Question

设 $ABC$ 是等边三角形。将边 $\overline{AB}$ 过 $B$ 延长到点 $B'$ ，使 $BB'=3 \cdot AB$ 。类似地，将 $\overline{BC}$ 过 $C$ 延长到 $C'$ ，使 $CC'=3 \cdot BC$ ，将 $\overline{CA}$ 过 $A$ 延长到 $A'$ ，使 $AA'=3 \cdot CA$ 。

$\triangle A'B'C'$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比是多少？

Let $ABC$ be an equilateral triangle. Extend side $\overline{AB}$ beyond $B$ to a point $B'$ so that $BB'=3 \cdot AB.$ Similarly, extend side $\overline{BC}$ beyond $C$ to a point $C'$ so that $CC'=3 \cdot BC,$ and extend side $\overline{CA}$ beyond $A$ to a point $A'$ so that $AA'=3 \cdot CA.$

What is the ratio of the area of $\triangle A'B'C'$ to the area of $\triangle ABC?$

$9:1$

$16:1$

$25:1$

$36:1$

$37:1$

答案：E

知识点：面积比等边三角形三角形面积

难度评级：1860

解答：

设 $\triangle ABC.$ 的面积为 $X$ 。 $\triangle BB'C,$ $\triangle CC'A,$ 和 $\triangle AA'B$ 的底边都分别是 $\triangle ABC$ 对应边的三倍，而对应高相同。因此每个三角形的面积都是 $3X.$

接着， $\triangle AA'C'$ 的底是 $\triangle ACC',$ 的三倍，高相同；后者面积为 $3X.$ 所以 $\triangle AA'C'$ 的面积为 $9X.$ 同理， $\triangle CC'B'$ 和 $\triangle BB'A'$ 的面积也都是 $9X.$

这七个区域恰好分割大三角形，所以 $\begin{aligned}[A'B'C']&=X+3(3X)+3(9X)\\&=37X.\end{aligned}$ 所求比为 $37:1.$

所以正确答案是 E。

Let $X$ be the area of $\triangle ABC.$ Each of $\triangle BB'C,$ $\triangle CC'A,$ and $\triangle AA'B$ has a base three times as long as a side of $\triangle ABC$ and the same corresponding altitude. Each therefore has area $3X.$

Next, $\triangle AA'C'$ has three times the base and the same altitude as $\triangle ACC',$ whose area is $3X.$ Thus $\triangle AA'C'$ has area $9X.$ Similarly, $\triangle CC'B'$ and $\triangle BB'A'$ each have area $9X.$

These seven regions partition the large triangle, so $\begin{aligned}[A'B'C']&=X+3(3X)+3(9X)\\&=37X.\end{aligned}$ The requested ratio is $37:1.$

Thus, the correct answer is E .

2017 AMC 10B 第 19 题

答案：E

难度评级：1860

解答：

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