Question

对某些实数 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 多项式有三个不同的根，并且 $g(x)$ 的每个根也都是多项式的根。求 $f(1)$ 。 $g(x) = x^3 + ax^2 + x + 10$ $\begin{aligned} f(x) &= x^4 + x^3 \\ &\quad {}+ bx^2 + 100x + c. \end{aligned}$

For certain real numbers $a,$ $b,$ and $c,$ the polynomial $g(x) = x^3 + ax^2 + x + 10$ has three distinct roots, and each root of $g(x)$ is also a root of the polynomial $\begin{aligned} f(x) &= x^4 + x^3 \\ &\quad {}+ bx^2 + 100x + c. \end{aligned}$ What is $f(1)?$

$-9009$

$-8008$

$-7007$

$-6006$

$-5005$

答案：C

知识点：多项式因式分解

难度评级：2110

解答：

因为三次多项式 $g$ 的三个不同实根也是首一四次多项式 $f,$ 的根，所以可写成 $f(x)=g(x)(x-r)$ ，其中 $r.$ 是某个实数。

乘积中 $x$ 的系数为 $10-r,$ 所以 $10-r=100$ ，得 $r=-90.$ $x^3$ 的系数为 $a-r,$ 所以 $a-r=1$ ，得 $a=-89.$

因此 $\begin{aligned} f(1)&=g(1)(1-r)\\ &=(1-89+1+10)(91)\\ &=(-77)(91)\\ &=-7007. \end{aligned}$

所以正确答案是 C。

Because the three distinct roots of the cubic $g$ are also roots of the monic quartic $f,$ we can write $f(x)=g(x)(x-r)$ for some real number $r.$

The coefficient of $x$ in this product is $10-r,$ so $10-r=100$ and $r=-90.$ The coefficient of $x^3$ is $a-r,$ so $a-r=1$ and $a=-89.$

Therefore, $\begin{aligned} f(1)&=g(1)(1-r)\\ &=(1-89+1+10)(91)\\ &=(-77)(91)\\ &=-7007. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

2017 AMC 10A 第 24 题

答案：C

难度评级：2110

解答：

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