2017 AMC 10A 第 24 题

先试着解答 2017 AMC 10A 第 24 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2017 AMC 10A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

对于某些实数

a

、

b

和

c

，多项式

g(x) = x^3 + ax^2 + x + 10

有三个不同的根，并且

g(x)

的每个根也都是多项式

\begin{aligned} f(x) &= x^4 + x^3 \\ &\quad {}+ bx^2 + 100x + c \end{aligned}

的根。求

f(1)

。

For certain real numbers

a,

b,

and

c,

the polynomial

g(x) = x^3 + ax^2 + x + 10

has three distinct roots, and each root of

g(x)

is also a root of the polynomial

\begin{aligned} f(x) &= x^4 + x^3 \\ &\quad {}+ bx^2 + 100x + c. \end{aligned}

What is

f(1)?

-9009

-8008

-7007

-6006

-5005

答案：C

知识点：多项式因式分解

难度评级：2110

小提示：

因为

g

的根也是

f

的根，所以用

g

来分解

f

。

Because the roots of

g

are roots of

f

, factor

f

by

g

大提示：

比较

x^3

项和

x

项系数，求出额外的根和

a

。

Compare the

x^3

and

x

coefficients to find the extra root and

a

解答：

因为三次多项式

g

的三个不同实根也是首一四次多项式

f

的根，所以可写成

f(x)=g(x)(x-r)\text{，}

其中

r

是某个实数。

乘积中

x

的系数为

10-r

，所以

10-r=100

，得

r=-90

。

x^3

的系数为

a-r

，所以

a-r=1

，得

a=-89

。

因此

\begin{aligned} f(1)&=g(1)(1-r)\\ &=(1-89+1+10)(91)\\ &=(-77)(91)\\ &=-7007 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 C。

Because the three distinct roots of the cubic

g

are also roots of the monic quartic

f,

we can write

f(x)=g(x)(x-r)

for some real number

r.

The coefficient of

x

in this product is

10-r,

so

10-r=100

and

r=-90.

The coefficient of

x^3

is

a-r,

so

a-r=1

and

a=-89.

Therefore,

\begin{aligned} f(1)&=g(1)(1-r)\\ &=(1-89+1+10)(91)\\ &=(-77)(91)\\ &=-7007. \end{aligned}

Thus, C is the correct answer.