Question

在正六边形 $ABCDEF$ 中，点 $W$ 、 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 分别选在边 $\overline{BC}$ 、 $\overline{CD}$ 、 $\overline{EF}$ 、 $\overline{FA}$ 上，使直线 $AB$ 、 $ZW$ 、 $YX$ 、 $ED$ 互相平行且间距相等。六边形 $WCXYFZ$ 的面积与六边形 $ABCDEF$ 的面积之比是多少？

In regular hexagon $ABCDEF,$ points $W,$ $X,$ $Y,$ and $Z$ are chosen on sides $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ $\overline{EF},$ and $\overline{FA}$ respectively, so lines $AB,$ $ZW,$ $YX,$ and $ED$ are parallel and equally spaced. What is the ratio of the area of hexagon $WCXYFZ$ to the area of hexagon $ABCDEF?$

$\ \dfrac{1}{3}$

$\ \dfrac{10}{27}$

$\ \dfrac{11}{27}$

$\ \dfrac{4}{9}$

$\ \dfrac{13}{27}$

答案：C

知识点：正多边形面积比相似

难度评级：2300

解答：

参考下图：图形对称，因此可比较 $\overline{FE}$ 与 $\overline{CD}$ 的面积比。为此，把和延长到相交于点 $P$ 。

直线 $ED$ 到 $ZW$ 的距离等于 $ZW$ 到 $YX$ 的距离，而 $ZW$ 到 $d$ 的距离是 $2d$ 到 $FC$ 的距离的两倍。因此 $ED$ 到 $h$ 的距离是 $PFC$ 到 $FC$ 的距离的两倍。设从 $P$ 到 $1:2$ 的高为 $h=3d$ 。若从 $PZW$ 到 $PED$ 的高为，则从到的高为。由于又，且 $PED$ 是等边三角形，所以，即。 $h+3d=2h,$ $\frac{h+2d}{h}=\frac53.$

因此 $[PED]=1$ 与 $[PZW]=\frac{25}{9}$ 的边长比为 $[PFC]=4$ ，面积比为 $\frac{11/9}{3}=\frac{11}{27}$ 。而与的边长比为，面积比为。所以 $EDCF$ 的面积是面积的倍，而的面积是面积的倍。因此 $ZWCF$ 的面积是面积的倍。 $\begin{aligned} [ZWCF]&=4-\frac{25}{9}=\frac{11}{9}, \\ [EDCF]&=4-1=3. \end{aligned}$

于是与的面积比为所以正确答案是 C。

Extend $\overline{FE}$ and $\overline{CD}$ until they meet at $P.$

Let $d$ be the distance between $ZW$ and $FC.$ Because the four given lines are equally spaced and $FC$ lies halfway between $ZW$ and $YX,$ the distance from $ED$ to $ZW$ is $2d.$ Let the altitude from $P$ to $ED$ be $h.$ The equilateral triangles $PED$ and $PFC$ have side lengths in the ratio $1:2,$ so their altitudes satisfy $h+3d=2h,$ giving $h=3d.$ Therefore the side-length ratio of $PZW$ to $PED$ is $\frac{h+2d}{h}=\frac53.$

Taking $[PED]=1,$ similarity gives $[PZW]=\frac{25}{9}$ and $[PFC]=4.$ Hence $\begin{aligned} [ZWCF]&=4-\frac{25}{9}=\frac{11}{9}, \\ [EDCF]&=4-1=3. \end{aligned}$ The desired hexagon consists of two congruent copies of $ZWCF,$ while the regular hexagon consists of two congruent copies of $EDCF.$ Thus the requested ratio is $\frac{11/9}{3}=\frac{11}{27}.$

Thus, the correct answer is C .

2016 AMC 10B 第 23 题

答案：C

难度评级：2300

解答：

其他年份的第 23 题