2016 AMC 10A 第 23 题

Question

二元运算

\diamondsuit

满足

a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c

以及

a\,\diamondsuit \,a=1

，对所有非零实数

a

，

b

和

c

都成立。（这里的点号

\cdot

表示通常的乘法运算。）方程

2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100

的解可写成

\frac{p}{q}

，其中

p

和

q

为互质正整数。求

p+q

的值。

A binary operation

\diamondsuit

has the properties that

a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c

and that

a\,\diamondsuit \,a=1

for all nonzero real numbers

a,

b,

and

c.

(Here the dot

\cdot

represents the usual multiplication operation.) The solution to the equation

2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100

can be written as

\frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. What is

p+q?

109

201

301

3049

33{,}601

答案：A

知识点：自定义运算函数方程

难度评级：1820

小提示：

先证明

a\diamondsuit b=\frac{a}{b}

。

First prove

a\diamondsuit b=\frac{a}{b}

大提示：

再计算

2016\diamondsuit(6\diamondsuit x)

。

Then compute

2016\diamondsuit(6\diamondsuit x)

解答：

因为

a\diamondsuit a=1

，在

a\diamondsuit(b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)c

中令

b=c

，得

a\diamondsuit1=(a\diamondsuit b)b

。又由

a\diamondsuit(a\diamondsuit a)=(a\diamondsuit a)a

，可得

a\diamondsuit1=a

，因此

a\diamondsuit b=\frac ab

。

因此代入方程得到

\begin{aligned} 2016\diamondsuit(6\diamondsuit x) &= 2016\diamondsuit\frac6x \\ &= \frac{2016}{\frac{6}{x}} \\ &= 336x \\ &= 100 \end{aligned}\text{。}

所以

x=\frac{25}{84}

，

p+q=25+84=109

。

所以正确答案是 A。

Since

a\diamondsuit a=1

, substituting

b=c

in

a\diamondsuit(b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)c

gives

a\diamondsuit1=(a\diamondsuit b)b

. Also, using

a\diamondsuit(a\diamondsuit a)=(a\diamondsuit a)a

gives

a\diamondsuit1=a

. Therefore

a\diamondsuit b=\frac ab

.

The equation becomes

\begin{aligned} 2016\diamondsuit(6\diamondsuit x) &= 2016\diamondsuit\frac6x \\ &= \frac{2016}{\frac{6}{x}} \\ &= 336x \\ &= 100. \end{aligned}

Thus

x=\frac{25}{84}

, so

p+q=25+84=109

.

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 10A 第 23 题

答案：A

难度评级：1820

小提示：

大提示：

解答：

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