Question

设 $n$ 是大于四的正整数， $n!$ 以十为底表示时末尾有 $k$ 个零，而 $(2n)!$ 以十为底表示时末尾有 $3k$ 个零。令 $s$ 为四个最小可能的 $n$ 值之和。求 $s$ 的各位数字之和。

Let $n$ be a positive integer greater than 4 such that the decimal representation of $n!$ ends in $k$ zeros and the decimal representation of $(2n)!$ ends in $3k$ zeros. Let $s$ denote the sum of the four least possible values of $n.$ What is the sum of the digits of $s?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：B

知识点：末尾零勒让德公式阶乘

难度评级：1790

解答：

阶乘末尾零的个数等于其中因子 $5$ 的个数。对 $5\le n\le9$ ， $n!$ 有 $k=1$ 个零；要使 $(2n)!$ 有 $3$ 个零，需要 $15\le2n\le19$ ，所以 $n=8,9$ 。

对 $10\le n\le14$ ， $n!$ 有 $k=2$ 个零；要使 $(2n)!$ 有 $6$ 个零，需要 $25\le2n\le29$ ，所以 $n=13,14$ 。

这就是四个最小值，所以 $s=8+9+13+14=44$ 。 $s$ 的各位数字和为 $8$ 。

所以正确答案是 B。

The number of trailing zeros is the number of factors of $5$ . For $5\le n\le9$ , $n!$ has $k=1$ zero. We need $(2n)!$ to have $3$ zeros, which happens when $15\le2n\le19$ . Thus $n=8,9$ .

For $10\le n\le14$ , $n!$ has $k=2$ zeros. We need $(2n)!$ to have $6$ zeros, which happens when $25\le2n\le29$ . Thus $n=13,14$ .

These are the four least possible values, so $s=8+9+13+14=44$ . The sum of the digits of $s$ is $8$ .

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 10B 第 23 题

答案：B

难度评级：1790

解答：

其他年份的第 23 题