2013 AMC 10B 第 20 题

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20.

数

2013

被表示为

2013 = \frac {a_1!a_2!\cdots a_m!}{b_1!b_2!\cdots b_n!}\text{，}

其中

a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m

且

b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n

都是正整数，并且

a_1 + b_1

尽可能小。求

|a_1 - b_1|

。

The number

2013

is expressed in the form

2013 = \frac {a_1!a_2!\cdots a_m!}{b_1!b_2!\cdots b_n!},

where

a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m

and

b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n

are positive integers and

a_1 + b_1

is as small as possible. What is

|a_1 - b_1|?

1

2

3

4

5

答案：B

知识点：阶乘质因数分解

难度评级：2060

小提示：

分子必须含有因子

61

。

The numerator must include a factor of

61

大提示：

小于

61

的不需要素数，尤其是

59

，必须由分母抵消。

Any unwanted prime below

61

, especially

59

, must be canceled from the denominator

解答：

2013=3\cdot11\cdot61

，所以分子必须含因子

61

，从而

a_1\ge61

。

但

61!

还含有素因子

59

，而

2013

中没有这个因子，所以分母必须含因子

59

，从而

b_1\ge59

。

因此

a_1+b_1\ge120

。这个下界可以达到：

2013=\frac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}

。

所以

|a_1-b_1|=61-59=2

，正确答案是 B。

The prime factorization is

2013=3\cdot11\cdot61

, so the numerator must contain a factor of

61

. Hence

a_1\ge61

.

But

61!

also contains the prime factor

59

, which is not in

2013

, so the denominator must contain a factor of

59

. Hence

b_1\ge59

.

The lower bound

a_1+b_1\ge120

is attainable because

2013=\frac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}

.

Thus

|a_1-b_1|=61-59=2

, and the correct answer is B .