Question

数 $2013$ 被表示为其中且都是正整数，并且 $a_1 + b_1$ 尽可能小。求 $|a_1 - b_1|$ 。 $2013 = \frac {a_1!a_2!\cdots a_m!}{b_1!b_2!\cdots b_n!},$ $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$

The number $2013$ is expressed in the form $2013 = \frac {a_1!a_2!\cdots a_m!}{b_1!b_2!\cdots b_n!},$ where $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ and $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ are positive integers and $a_1 + b_1$ is as small as possible. What is $|a_1 - b_1|?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：B

知识点：阶乘质因数分解

难度评级：2060

解答：

$2013=3\cdot11\cdot61$ ，所以分子必须含因子 $61$ ，从而 $a_1\ge61$ 。

但 $61!$ 还含有素因子 $59$ ，而 $2013$ 中没有这个因子，所以分母必须含因子 $59$ ，从而 $b_1\ge59$ 。

因此 $a_1+b_1\ge120$ 。这个下界可以达到： $2013=\frac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}$ 。

所以 $|a_1-b_1|=61-59=2$ ，正确答案是 B。

The prime factorization is $2013=3\cdot11\cdot61$ , so the numerator must contain a factor of $61$ . Hence $a_1\ge61$ .

But $61!$ also contains the prime factor $59$ , which is not in $2013$ , so the denominator must contain a factor of $59$ . Hence $b_1\ge59$ .

The lower bound $a_1+b_1\ge120$ is attainable because $2013=\frac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}$ .

Thus $|a_1-b_1|=61-59=2$ , and the correct answer is B .

2013 AMC 10B 第 20 题

答案：B

难度评级：2060

解答：

其他年份的第 20 题