Question

在 $10$ 进制中，数 $2013$ 的末位数字是 $3$ 。另一方面，在 $9$ 进制中，同一个数写作 $(2676)_9$ ，末位数字是 $6$ 。有多少个正整数 $b$ ，使得 $2013$ 的 $b$ 进制表示以数字 $3$ 结尾？

In base $10,$ the number $2013$ ends in the digit $3.$ In base $9,$ on the other hand, the same number is written as $(2676)_9$ and ends in the digit $6.$ For how many positive integers $b$ does the base- $b$ -representation of $2013$ end in the digit $3?$

$6$

$9$

$13$

$16$

$18$

答案：C

知识点：进制模运算因数个数

难度评级：1420

解答：

进制表示的末位数字就是除以底数后的余数。

因此问题等价于寻找所有正整数 $b$ ，使 $2013$ 除以 $b$ 余 $3$ 。

这意味着 $b$ 必须整除 $2010$ 。此外 $b \geq 4$ ，否则余数不可能是 $3$ 。

$2010$ 的质因数分解为因此 $2010$ 有个正因数。它有 $3$ 个小于 $4$ 的因数，即 $1, 2$ 和 $3$ ，都不能作为底数。因此有效的 $b$ 有 $16 - 3 = 13$ 个。 $2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67.$ $(1 + 1)^4 = 2^4 = 16$

所以正确答案是 C。

Note that the units digit represents the remainder when the number is divided by the base.

The question then boils down to finding all numbers, $b,$ such that $2013$ leaves a remainder of $3$ when divided by $b.$

This means that $b$ must divide $2010.$ Also note that $b \geq 4,$ since otherwise the remainder cannot be $3.$

The prime factorization of $2010$ is $2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67.$ Then, $2010$ has $(1 + 1)^4 = 2^4 = 16$ factors. It has $3$ factors less than $4,$ namely $1, 2,$ and $3.$ This means there are $16 - 3 = 13$ valid values for $b.$

Thus, C is the correct answer.

2013 AMC 10A 第 19 题

答案：C

难度评级：1420

解答：

其他年份的第 19 题