Question

菱形 $ABCD$ 的边长为 $2$ ，且 $\angle B = 120^\circ$ 。区域 $R$ 由菱形内所有比到其他三个顶点更接近顶点 $B$ 的点组成。 $R$ 的面积是多少？

Rhombus $ABCD$ has side length $2$ and $\angle B = 120^\circ$ . Region $R$ consists of all points inside the rhombus that are closer to vertex $B$ than any of the other three vertices. What is the area of $R?$

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$2$

答案：C

知识点：垂直平分线菱形特殊直角三角形

难度评级：1950

解答：

比到其他顶点更接近 $B$ 的点由 $BA$ 、 $BC$ 、 $BD$ 的垂直平分线围定。 $BD$ 的垂直平分线是对角线 $AC$ ，所以所求区域位于 $\triangle ABC$ 中。

三角形 $ABC$ 面积为 $\dfrac12\cdot2\cdot2\sin120^\circ=\sqrt3$ 。 $BA$ 和 $BC$ 的垂直平分线切去两个全等的 $30$ - $60$ - $90$ 三角形，每个面积为 $\dfrac{\sqrt3}{6}$ 。

所求面积为 $\sqrt3-2\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ 。

所以正确答案是 C。

The points closer to $B$ than to another vertex are bounded by the perpendicular bisectors of $BA$ , $BC$ , and $BD$ . The bisector of $BD$ is diagonal $AC$ , so the desired region lies in $\triangle ABC$ .

Triangle $ABC$ has area $\dfrac12\cdot2\cdot2\sin120^\circ=\sqrt3$ . The perpendicular bisectors of $BA$ and $BC$ cut off two congruent $30$ - $60$ - $90$ triangles, each with area $\dfrac{\sqrt3}{6}$ .

Therefore the desired area is $\sqrt3-2\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ .

Thus, C is the correct answer.

2011 AMC 10B 第 20 题

答案：C

难度评级：1950

解答：

其他年份的第 20 题