2009 AMC 10B 第 20 题

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20.

三角形

ABC

在

B

处为直角，

AB=1

、

BC=2

。

\angle BAC

的角平分线与

\overline{BC}

交于

D

。求

BD

的值。

Triangle

ABC

has a right angle at

B,

AB=1,

and

BC=2.

The bisector of

\angle BAC

meets

\overline{BC}

at

D.

What is

BD?

\dfrac{\sqrt3-1}{2}

\dfrac{\sqrt5-1}{2}

\dfrac{\sqrt5+1}{2}

\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}

2\sqrt3-1

答案：B

知识点：角平分线定理勾股定理

难度评级：1600

小提示：

由角平分线定理，

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}

。

By the Angle Bisector Theorem,

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}

大提示：

AC=\sqrt5

，且

BD+DC=2

。

AC=\sqrt5

and

BD+DC=2

解答：

由勾股定理，

AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5

。角平分线定理给出

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt5}\text{，}

所以

DC=\sqrt5\,BD

。

于是

BD+DC=2

，

BD(1+\sqrt5)=2

，

BD=\dfrac{2}{1+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\text{。}

所以正确答案是 B。

By the Pythagorean Theorem,

AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.

The Angle Bisector Theorem gives

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt5},

so

DC=\sqrt5\,BD.

Since

BD+DC=2,

we have

BD(1+\sqrt5)=2,

so

BD=\dfrac{2}{1+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}.

Thus, the correct answer is B.