Question

三角形 $ABC$ 在 $B$ 处为直角， $AB=1$ 、 $BC=2$ 。 $\angle BAC$ 的角平分线与 $\overline{BC}$ 交于 $D$ 。求 $BD$ 的值。

Triangle $ABC$ has a right angle at $B,$ $AB=1,$ and $BC=2.$ The bisector of $\angle BAC$ meets $\overline{BC}$ at $D.$ What is $BD?$

$\dfrac{\sqrt3-1}{2}$

$\dfrac{\sqrt5-1}{2}$

$\dfrac{\sqrt5+1}{2}$

$\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$

$2\sqrt3-1$

答案：B

知识点：角平分线定理勾股定理

难度评级：1600

解答：

由勾股定理， $AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$ 。角平分线定理给出所以 $DC=\sqrt5\,BD$ 。 $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt5},$

于是 $BD+DC=2$ ， $BD(1+\sqrt5)=2$ ， $BD=\dfrac{2}{1+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}.$

所以正确答案是 B。

By the Pythagorean Theorem, $AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$ The Angle Bisector Theorem gives $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt5},$ so $DC=\sqrt5\,BD.$

Since $BD+DC=2,$ we have $BD(1+\sqrt5)=2,$ so $BD=\dfrac{2}{1+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 10B 第 20 题

答案：B

难度评级：1600

解答：

其他年份的第 20 题