2009 AMC 10A 第 13 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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2009 AMC 10A 第 13 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

13.

设 $P = 2^m$ 、 $Q = 3^n$ 。下列哪一项对任意整数对 $(m, n)$ 都等于 $12^{mn}$ ？

Suppose that $P = 2^m$ and $Q = 3^n.$ Which of the following is equal to $12^{mn}$ for every pair of integers $(m, n)?$

$P^2 Q$

$P^n Q^m$

$P^n Q^{2m}$

$P^{2m} Q^n$

$P^{2n} Q^m$

答案：E

知识点：指数质因数分解

难度评级：1280

解答：

因为 $12 = 2^2 \cdot 3$ ， $\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n} \cdot (3^n)^m \\ &= P^{2n} Q^m. \end{aligned}$

所以正确答案是 E。

Since $12 = 2^2 \cdot 3,$ $\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n} \cdot (3^n)^m \\ &= P^{2n} Q^m. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

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