2009 AMC 10A 第 13 题

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13.

设

P = 2^m

、

Q = 3^n

。下列哪一项对任意整数对

(m, n)

都等于

12^{mn}

？

Suppose that

P = 2^m

and

Q = 3^n.

Which of the following is equal to

12^{mn}

for every pair of integers

(m, n)?

P^2 Q

P^n Q^m

P^n Q^{2m}

P^{2m} Q^n

P^{2n} Q^m

答案：E

知识点：指数质因数分解

难度评级：1280

小提示：

写出

12 = 2^2 \cdot 3

，再取

mn

次方。

Write

12 = 2^2 \cdot 3

and raise it to the power

mn

大提示：

用

P = 2^m

和

Q = 3^n

重新组合

2^{2mn} \cdot 3^{mn}

。

Regroup

2^{2mn} \cdot 3^{mn}

using

P = 2^m

and

Q = 3^n

解答：

因为

12 = 2^2 \cdot 3

，

\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n} \cdot (3^n)^m \\ &= P^{2n} Q^m \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 E。

Since

12 = 2^2 \cdot 3,

\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n} \cdot (3^n)^m \\ &= P^{2n} Q^m. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.