2008 AMC 10B 第 11 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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11.

假设实数数列 $(u_n)$ 满足 $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n$ ，且 $u_3=9$ 、 $u_6=128$ 。求 $u_5$ 的值。

Suppose that $(u_n)$ is a sequence of real numbers satisfying $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n,$ and that $u_3=9$ and $u_6=128.$ What is $u_5?$

$40$

$53$

$68$

$88$

$104$

由递推式， $u_5=2u_4+u_3=2u_4+9$ ，且 $u_6=2u_5+u_4$ $=2(2u_4+9)+u_4$ $=5u_4+18$ 。

令 $5u_4+18=128$ ，得 $u_4=22$ ，所以 $u_5=2\cdot 22+9=53$ 。

所以正确答案是 B。

Using the recurrence, $u_5=2u_4+u_3=2u_4+9$ and $u_6=2u_5+u_4$ $=2(2u_4+9)+u_4$ $=5u_4+18.$

Setting $5u_4+18=128$ gives $u_4=22,$ so $u_5=2\cdot 22+9=53.$

Thus, the correct answer is B.