Question

圆心为 $A$ 和 $B$ 的两个圆半径分别为 $3$ 和 $8$ ，如图，一条公内切线分别在 $C$ 和 $D$ 处与两圆相切。直线 $AB$ 与 $CD$ 交于 $E$ ，且 $AE = 5$ 。求 $CD$ ？

Circles with centers $A$ and $B$ have radii $3$ and $8,$ respectively. A common internal tangent touches the circles at $C$ and $D,$ as shown. Lines $AB$ and $CD$ intersect at $E,$ and $AE = 5.$ What is $CD?$

$13$

$\dfrac{44}{3}$

$\sqrt{221}$

$\sqrt{255}$

$\dfrac{55}{3}$

答案：B

知识点：切线相似勾股定理

难度评级：1720

解答：

因为 $AC \perp CD$ ，所以 $CE = \sqrt{AE^2 - AC^2}$ $= \sqrt{25 - 9}$ $= 4$ 。

由于 $\triangle ACE \sim \triangle BDE$ ，有 $\frac{DE}{CE} = \frac{BD}{AC}$ ，所以 $DE = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}$ 。

因此 $CD = CE + DE$ $= 4 + \frac{32}{3}$ $= \frac{44}{3}$ 。

所以正确答案是 B。

Since $AC \perp CD,$ we have $CE = \sqrt{AE^2 - AC^2}$ $= \sqrt{25 - 9}$ $= 4.$

Because $\triangle ACE \sim \triangle BDE,$ $\frac{DE}{CE} = \frac{BD}{AC},$ so $DE = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}.$

Then $CD = CE + DE$ $= 4 + \frac{32}{3}$ $= \frac{44}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 10A 第 23 题

答案：B

难度评级：1720

解答：

其他年份的第 23 题