2006 AMC 10A 第 23 题

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23.

圆心为

A

和

B

的两个圆半径分别为

3

和

8

，如图，一条公内切线分别在

C

和

D

处与两圆相切。直线

AB

与

CD

交于

E

，且

AE = 5

。

CD

是多少？

Circles with centers

A

and

B

have radii

3

and

8,

respectively. A common internal tangent touches the circles at

C

and

D,

as shown. Lines

AB

and

CD

intersect at

E,

and

AE = 5.

What is

CD?

13

\dfrac{44}{3}

\sqrt{221}

\sqrt{255}

\dfrac{55}{3}

答案：B

知识点：切线相似勾股定理

难度评级：1720

小提示：

半径

AC

和

BD

都垂直于切线

CD

。

Radii

AC

and

BD

are perpendicular to the tangent

CD

大提示：

\triangle ACE \sim \triangle BDE

；先求

CE

。

\triangle ACE \sim \triangle BDE

; first find

CE

解答：

因为

AC \perp CD

，所以

CE = \sqrt{AE^2 - AC^2}

= \sqrt{25 - 9}

= 4

。

由于

\triangle ACE \sim \triangle BDE

，有

\frac{DE}{CE} = \frac{BD}{AC}

，所以

DE = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}

。

因此

CD = CE + DE

= 4 + \frac{32}{3}

= \frac{44}{3}

。

所以正确答案是 B。

Since

AC \perp CD,

we have

CE = \sqrt{AE^2 - AC^2}

= \sqrt{25 - 9}

= 4.

Because

\triangle ACE \sim \triangle BDE,

\frac{DE}{CE} = \frac{BD}{AC},

so

DE = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}.

Then

CD = CE + DE

= 4 + \frac{32}{3}

= \frac{44}{3}.

Thus, the correct answer is B.