2005 AMC 10A 第 23 题

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23.

令

AB

为一个圆的直径，点

C

在

AB

上且

2 \cdot AC = BC

。点

D

和

E

在圆上，使得

DC \perp AB

，且

DE

是另一条直径。

\triangle DCE

的面积与

\triangle ABD

的面积之比是多少？

Let

AB

be a diameter of a circle and

C

be a point on

AB

with

2 \cdot AC = BC.

Let

D

and

E

be points on the circle such that

DC \perp AB

and

DE

is a second diameter. What is the ratio of the area of

\triangle DCE

to the area of

\triangle ABD?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

答案：C

知识点：面积比圆三角形面积

难度评级：2010

小提示：

设

O

为圆心；由

2 \cdot AC = BC

可得

AC = \frac{1}{3}AB

，从而定位

C

。

Let

O

be the center; from

2 \cdot AC = BC

locate

C

using

AC = \frac{1}{3}AB

大提示：

因为

O

是

DE

的中点，

[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO]

，而

\triangle DCO

与

\triangle DAB

从

D

出发的高相同。

Since

O

is the midpoint of

DE,

[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO],

and

\triangle DCO

shares the altitude from

D

with

\triangle DAB

解答：

设

O

是圆心。由

2 \cdot AC = BC

且

AC + BC = AB

，得

AC = \dfrac{AB}{3}

，因此

CO = \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AB}{6}

。三角形

DCO

和

DAB

的顶点

D

相同，底边

CO

与

AB

在同一直线上，所以

[\triangle DCO] = \dfrac{CO}{AB}[\triangle DAB]

= \dfrac{1}{6}[\triangle DAB]

。又因为

O

是

DE

的中点，

[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO]

= \dfrac{1}{3}[\triangle DAB]

。

所以正确答案是 C。

Let

O

be the center. From

2 \cdot AC = BC

and

AC + BC = AB,

we get

AC = \dfrac{AB}{3},

so

CO = \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AB}{6}.

Triangles

DCO

and

DAB

share the apex

D

with bases

CO

and

AB

on the same line, so

[\triangle DCO] = \dfrac{CO}{AB}[\triangle DAB]

= \dfrac{1}{6}[\triangle DAB].

Because

O

is the midpoint of

DE,

[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO]

= \dfrac{1}{3}[\triangle DAB].

Thus, the correct answer is C.