Question

令 $AB$ 为一个圆的直径，点 $C$ 在 $AB$ 上且 $2 \cdot AC = BC$ 。点 $D$ 和 $E$ 在圆上，使得 $DC \perp AB$ ，且 $DE$ 是另一条直径。 $\triangle DCE$ 的面积与 $\triangle ABD$ 的面积之比是多少？

Let $AB$ be a diameter of a circle and $C$ be a point on $AB$ with $2 \cdot AC = BC.$ Let $D$ and $E$ be points on the circle such that $DC \perp AB$ and $DE$ is a second diameter. What is the ratio of the area of $\triangle DCE$ to the area of $\triangle ABD?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

答案：C

知识点：面积比圆三角形面积

难度评级：2010

解答：

设 $O$ 是圆心。由 $2 \cdot AC = BC$ 且 $AC + BC = AB$ ，得 $AC = \dfrac{AB}{3}$ ，因此 $CO = \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AB}{6}$ 。三角形 $DCO$ 和 $DAB$ 的顶点 $D$ 相同，底边 $CO$ 与 $AB$ 在同一直线上，所以 $[\triangle DCO] = \dfrac{CO}{AB}[\triangle DAB]$ $= \dfrac{1}{6}[\triangle DAB]$ 。又因为 $O$ 是 $DE$ 的中点， $[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO]$ $= \dfrac{1}{3}[\triangle DAB]$ 。

所以正确答案是 C。

Let $O$ be the center. From $2 \cdot AC = BC$ and $AC + BC = AB,$ we get $AC = \dfrac{AB}{3},$ so $CO = \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AB}{6}.$ Triangles $DCO$ and $DAB$ share the apex $D$ with bases $CO$ and $AB$ on the same line, so $[\triangle DCO] = \dfrac{CO}{AB}[\triangle DAB]$ $= \dfrac{1}{6}[\triangle DAB].$ Because $O$ is the midpoint of $DE,$ $[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO]$ $= \dfrac{1}{3}[\triangle DAB].$

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 10A 第 23 题

答案：C

难度评级：2010

解答：

其他年份的第 23 题