Question

设 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $\ldots$ 是满足以下性质的数列： $a_1 = 1$ ，且对任意正整数 $n$ ，有 $a_{2n} = n \cdot a_n$ 。 $a_{2^{100}}$ 的值是多少？

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ be a sequence with the following properties: $a_1 = 1,$ and $a_{2n} = n \cdot a_n$ for any positive integer $n.$ What is the value of $a_{2^{100}}?$

$1$

$2^{99}$

$2^{100}$

$2^{4950}$

$2^{9999}$

答案：D

知识点：递推三角形数找规律

难度评级：2010

解答：

反复使用递推式，得到因此一般地， $a_{2^n} = 2^{1 + 2 + \cdots + (n - 1)} = 2^{n(n-1)/2}$ 。 $\begin{aligned} a_{2^1} &= 2^0, \\ a_{2^2} &= 2^1, \\ a_{2^3} &= 2^{1+2}, \\ a_{2^4} &= 2^{1+2+3}, \ldots \end{aligned}$

当 $n = 100$ 时，指数为 $\dfrac{100 \cdot 99}{2} = 4950$ ，所以 $a_{2^{100}} = 2^{4950}$ 。

所以正确答案是 D。

Applying the rule repeatedly, $\begin{aligned} a_{2^1} &= 2^0, \\ a_{2^2} &= 2^1, \\ a_{2^3} &= 2^{1+2}, \\ a_{2^4} &= 2^{1+2+3}, \ldots \end{aligned}$ so in general $a_{2^n} = 2^{1 + 2 + \cdots + (n - 1)} = 2^{n(n-1)/2}.$

For $n = 100,$ the exponent is $\dfrac{100 \cdot 99}{2} = 4950,$ so $a_{2^{100}} = 2^{4950}.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 10A 第 24 题

答案：D

难度评级：2010

解答：

其他年份的第 24 题