Question

圆 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 两两外切，并且都与圆 $D$ 内切。圆 $B$ 和圆 $C$ 全等。圆 $A$ 半径为 $1$ ，并经过圆 $D$ 的圆心。圆 $B$ 的半径是多少？

Circles $A,$ $B,$ and $C$ are externally tangent to each other and internally tangent to circle $D.$ Circles $B$ and $C$ are congruent. Circle $A$ has radius $1$ and passes through the center of $D.$ What is the radius of circle $B?$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{8}{9}$

$\dfrac{1 + \sqrt{3}}{3}$

答案：D

知识点：相切圆坐标几何勾股定理

难度评级：1990

解答：

因为圆 $A$ 经过圆 $D$ 的圆心，并且与圆 $D$ 内切，所以圆 $D$ 的半径为 $2$ 。把圆 $D$ 的圆心放在原点，圆 $A$ 的圆心放在 $(-1, 0)$ 。

设圆 $B$ 的半径为 $r$ ，圆心为 $(x, r)$ ；由圆 $B$ 和圆 $C$ 关于水平轴对称，可得切线关系 $\begin{aligned} (x + 1)^2 + r^2 &= (1 + r)^2, \\ x^2 + r^2 &= (2 - r)^2. \end{aligned}$

两式相减得 $x = 3r - 2$ 。代入第二式得 $9r^2 - 8r = 0$ ，所以 $r = \dfrac{8}{9}$ 。

所以正确答案是 D。

Because circle $A$ passes through $D$ 's center and is internally tangent to $D,$ circle $D$ has radius $2.$ Place $D$ 's center at the origin and $A$ 's center at $(-1, 0).$

Let circle $B$ have radius $r$ and center $(x, r),$ using the symmetry of $B$ and $C$ about the horizontal axis. Tangency gives $\begin{aligned} (x + 1)^2 + r^2 &= (1 + r)^2, \\ x^2 + r^2 &= (2 - r)^2. \end{aligned}$

Subtracting yields $x = 3r - 2.$ Substituting into the second equation gives $9r^2 - 8r = 0,$ so $r = \dfrac{8}{9}.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 10A 第 23 题

答案：D

难度评级：1990

解答：

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