Question

线段 $\overline{AB}$ 、 $\overline{AC}$ ，和 $\overline{AD}$ 是一个立方体的三条棱， $\overline{AG}$ 是穿过立方体中心的一条体对角线。点 $P$ 满足 $BP = 60\sqrt{10}$ 、 $CP = 60\sqrt{5}$ 、 $DP = 120\sqrt{2}$ ，且 $GP = 36\sqrt{7}$ 。求 $AP$ 。

Segments $\overline{AB},$ $\overline{AC},$ and $\overline{AD}$ are edges of a cube and $\overline{AG}$ is a diagonal through the center of the cube. Point $P$ satisfies $BP = 60\sqrt{10},$ $CP = 60\sqrt{5},$ $DP = 120\sqrt{2},$ and $GP = 36\sqrt{7}.$ Find $AP.$

答案

答案：192

知识点：立体几何坐标几何距离公式

难度评级：2450

解答：

令 $A$ 为原点， $B = (s, 0, 0)$ 、 $C = (0, s, 0)$ 、 $D = (0, 0, s)$ 、 $G = (s, s, s)$ ，并设 $P = (x, y, z)$ 。展开得而 $GP^2 = AP^2 - 2s(x + y + z)$ $+ 3s^2$ 。因此其中所有含 $s$ 或点 $P$ 坐标的项都相消。 $\begin{aligned} BP^2 &= AP^2 - 2sx + s^2, \\ CP^2 &= AP^2 - 2sy + s^2, \\ DP^2 &= AP^2 - 2sz + s^2, \end{aligned}$ $\begin{aligned} &BP^2 + CP^2 \\ &\quad {}+ DP^2 - GP^2 \\ &= 2\,AP^2, \end{aligned}$

已知长度给出 $BP^2 = 36000$ 、 $CP^2 = 18000$ 、 $DP^2 = 28800$ ，以及 $GP^2 = 9072$ ，所以从而 $AP^2 = 36864$ ， $AP = 192$ 。 $\begin{aligned} 2\,AP^2 &= 36000 + 18000 \\ &\quad {}+ 28800 - 9072 \\ &= 73728, \end{aligned}$

Let $A$ be the origin with $B = (s, 0, 0),$ $C = (0, s, 0),$ $D = (0, 0, s),$ $G = (s, s, s),$ and $P = (x, y, z).$ Expanding, $\begin{aligned} BP^2 &= AP^2 - 2sx + s^2, \\ CP^2 &= AP^2 - 2sy + s^2, \\ DP^2 &= AP^2 - 2sz + s^2, \end{aligned}$ while $GP^2 = AP^2 - 2s(x + y + z)$ $+ 3s^2.$ Therefore $\begin{aligned} &BP^2 + CP^2 \\ &\quad {}+ DP^2 - GP^2 \\ &= 2\,AP^2, \end{aligned}$ with every term involving $s$ or the coordinates of $P$ cancelling.

The given lengths yield $BP^2 = 36000,$ $CP^2 = 18000,$ $DP^2 = 28800,$ and $GP^2 = 9072,$ so $\begin{aligned} 2\,AP^2 &= 36000 + 18000 \\ &\quad {}+ 28800 - 9072 \\ &= 73728, \end{aligned}$ giving $AP^2 = 36864$ and $AP = 192.$

2021 AIME I 第 6 题

答案：192

难度评级：2450

解答：

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