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1966 AMC 12 Problema 39

Intenta el Problema 39 del 1966 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1966 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

39.

En base R1R_1, la expansión de la fracción F1F_1 es 0.373737…0.373737\ldots y la de F2F_2 es 0.737373….0.737373\ldots. En base R2R_2, la fracción F1,F_1, al expandirse, se convierte en 0.252525…,0.252525\ldots, mientras que F2F_2 se convierte en 0.525252….0.525252\ldots. La suma de R1R_1 y R2,R_2, escritos ambos en base diez, es:
In base R1R_1 the expanded fraction F1F_1 becomes 0.373737…0.373737\ldots and the expanded fraction F2F_2 becomes 0.737373….0.737373\ldots. In base R2R_2 fraction F1,F_1, when expanded, becomes 0.252525…,0.252525\ldots, while fraction F2F_2 becomes 0.525252….0.525252\ldots. The sum of R1R_1 and R2,R_2, each written in base ten, is:
2424
2222
2121
2020
1919
Respuesta: E
Conceptos:base numéricadecimal periódicosistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:
Un par repetido abab en base RR es igual a aR+bR2−1\frac{aR+b}{R^2-1}
A repeating pair abab in base RR equals aR+bR2−1\frac{aR+b}{R^2-1}
Pista grande:
Suma las ecuaciones de F1F_1 y F2,F_2, y luego réstalas
Add the equations for F1F_1 and F2,F_2, then subtract them
Solución:
Las dos descripciones dan F1=3R1+7R12−1=2R2+5R22−1,F2=7R1+3R12−1=5R2+2R22−1. \begin{aligned} F_1&=\frac{3R_1+7}{R_1^2-1}\\ &=\frac{2R_2+5}{R_2^2-1},\\ F_2&=\frac{7R_1+3}{R_1^2-1}\\ &=\frac{5R_2+2}{R_2^2-1}. \end{aligned} Al sumar se obtiene 10R1−1=7R2−1,\frac{10}{R_1-1}=\frac{7}{R_2-1}, o 10R2−7R1=3.10R_2-7R_1=3. Al restar se obtiene 4R1+1=3R2+1,\frac{4}{R_1+1}=\frac{3}{R_2+1}, o 4R2−3R1=−1.4R_2-3R_1=-1. Al resolver se obtiene R1=11,R_1=11, R2=8,R_2=8, cuya suma es 19.19.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The two descriptions give F1=3R1+7R12−1=2R2+5R22−1,F2=7R1+3R12−1=5R2+2R22−1. \begin{aligned} F_1&=\frac{3R_1+7}{R_1^2-1}\\ &=\frac{2R_2+5}{R_2^2-1},\\ F_2&=\frac{7R_1+3}{R_1^2-1}\\ &=\frac{5R_2+2}{R_2^2-1}. \end{aligned} Adding yields 10R1−1=7R2−1,\frac{10}{R_1-1}=\frac{7}{R_2-1}, or 10R2−7R1=3.10R_2-7R_1=3. Subtracting yields 4R1+1=3R2+1,\frac{4}{R_1+1}=\frac{3}{R_2+1}, or 4R2−3R1=−1.4R_2-3R_1=-1. Solving gives R1=11,R_1=11, R2=8,R_2=8, whose sum is 19.19.
Therefore, the correct answer is E.
Problema 38#38
Examen completo
Problema 40#40

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