Question

一个半圆的直径为 $AB$ ，有一条长为 $16$ 的弦 $CD$ 平行于 $AB$ 。从大半圆中剪去一个较小的半圆，较小半圆的直径在 $AB$ 上，并且与 $CD$ 相切，如下图所示。

阴影部分的面积是多少？

A semicircle has diameter $AB$ and chord $CD$ of length $16$ parallel to $AB.$ A smaller semicircle with diameter on $AB$ and tangent to $CD$ is cut from the larger semicircle, as shown below.

What is the area of the resulting figure, shown shaded?

$16\pi$

$24\pi$

$32\pi$

$48\pi$

$64\pi$

答案：C

知识点：圆面积勾股定理

难度评级：1440

解答：

设 $O$ 是 $AB$ 上的圆心， $P$ 是弦 $CD$ 的中点。令 $r = OP$ 为小半圆半径， $R = OD$ 为大半圆半径。因为 $PD = 8$ ，在直角三角形 $OPD$ 中由勾股定理得 $R^2 - r^2 = 64$ 。阴影面积等于大半圆面积减去小半圆面积： $\tfrac12\pi R^2 - \tfrac12\pi r^2$ $= \tfrac12\pi(R^2 - r^2)$ $= 32\pi$ 。因此正确答案是 C。

Let $O$ be the center on $AB$ and $P$ the midpoint of chord $CD.$ Set $r = OP$ for the small radius and $R = OD$ for the large one. Since $PD = 8,$ the Pythagorean theorem in triangle $OPD$ gives $R^2 - r^2 = 64.$ The shaded area is the big semicircle minus the small one: $\tfrac12\pi R^2 - \tfrac12\pi r^2$ $= \tfrac12\pi(R^2 - r^2)$ $= 32\pi.$ Therefore, the answer is C.

2025 AMC 10A 第 10 题

答案：C

难度评级：1440

解答：

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