Question

整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足

$\begin{aligned} ab + c &= 100, \\ bc + a &= 87, \\ ca + b &= 60. \end{aligned}$

求 $ab + bc + ca$ 。

Integers $a,$ $b,$ and $c$ satisfy

$\begin{aligned} ab + c &= 100, \\ bc + a &= 87, \\ ca + b &= 60. \end{aligned}$

What is $ab + bc + ca?$

$212$

$247$

$258$

$276$

$284$

答案：D

知识点：方程组因式分解丢番图方程

难度评级：2270

解答：

将三个方程相加： $(a-c)(b-1)=13$ $u=a-c$ 。再两两相减，可分解为 $v=b-1$ 、 $(u,v)=(1,13)$ 、 $(13,1)$ 。这些条件确定 $(-1,-13)$ ，因此 $(-13,-1)$ 。所以 $bc+a=87$ $c=86/15$ ，正确答案是 D。 $c=74/3$ ， $c=-8$ ， $c=100$ 。 $(a,b,c)=(-9,-12,-8)$ 。 $(87,0,100)$ ， $ca+b=60$ 。 $ab+bc+ca$ ${}+(a+b+c)=247$ 。 $a+b+c=-29$ ， $ab+bc+ca$ $=247-(-29)=276$ 。

Subtract the second equation from the first: $(a-c)(b-1)=13.$ Put $u=a-c$ and $v=b-1.$ The four possibilities $(u,v)=(1,13),$ $(13,1),$ $(-1,-13),$ and $(-13,-1)$ give, after substitution into $bc+a=87,$ respectively $c=86/15,$ $c=74/3,$ $c=-8,$ and $c=100.$ Only the third is an integer solution of all three original equations: $(a,b,c)=(-9,-12,-8).$ (The last candidate is $(87,0,100),$ which fails $ca+b=60.$ ) Adding the original equations gives $ab+bc+ca$ ${}+(a+b+c)=247.$ Since $a+b+c=-29,$ we obtain $ab+bc+ca$ $=247-(-29)=276.$ Thus, D is the correct answer.

2024 AMC 10A 第 23 题

答案：D

难度评级：2270

解答：

其他年份的第 23 题