2024 AMC 10A 第 23 题

Question

整数

a

、

b

、

c

满足

\begin{aligned} ab + c &= 100, \\ bc + a &= 87, \\ ca + b &= 60 \end{aligned}\text{。}

求

ab + bc + ca

。

Integers

a,

b,

and

c

satisfy

\begin{aligned} ab + c &= 100, \\ bc + a &= 87, \\ ca + b &= 60. \end{aligned}

What is

ab + bc + ca?

212

247

258

276

284

答案：D

知识点：方程组因式分解丢番图方程

难度评级：2270

小提示：

将三个方程相加，关联

ab + bc + ca

和

a + b + c

。

Add all three equations to relate

ab + bc + ca

and

a + b + c

大提示：

前两式相减得到

(a-c)(b-1)=13

；枚举

13

的四个带符号因数对

Subtract the first two equations to get

(a-c)(b-1)=13;

enumerate the four signed factor pairs of

13

解答：

用第一个方程减去第二个方程：

(a-c)(b-1)=13

。令

u=a-c

，

v=b-1

。四种可能

(u,v)=(1,13)

、

(13,1)

、

(-1,-13)

和

(-13,-1)

代入

bc+a=87

后，分别给出

c=\frac{86}{15}

、

c=\frac{74}{3}

、

c=-8

和

c=100

。只有第三种给出三个原方程的整数解：

(a,b,c)=(-9,-12,-8)

。（最后一个候选是

(87,0,100)

，它不满足

ca+b=60

。）把原来的三个方程相加，得到

ab+bc+ca

{}+(a+b+c)=247

。由于

a+b+c=-29

，我们得到

ab+bc+ca

=247-(-29)=276

。因此正确答案是 D。

Subtract the second equation from the first:

(a-c)(b-1)=13.

Put

u=a-c

and

v=b-1.

The four possibilities

(u,v)=(1,13),

(13,1),

(-1,-13),

and

(-13,-1)

give, after substitution into

bc+a=87,

respectively

c=\frac{86}{15},

c=\frac{74}{3},

c=-8,

and

c=100.

Only the third is an integer solution of all three original equations:

(a,b,c)=(-9,-12,-8).

(The last candidate is

(87,0,100),

which fails

ca+b=60.

) Adding the original equations gives

ab+bc+ca

{}+(a+b+c)=247.

Since

a+b+c=-29,

we obtain

ab+bc+ca

=247-(-29)=276.

Thus, D is the correct answer.

2024 AMC 10A 第 23 题

答案：D

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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