Question

令 $L_1 = 1$ ， $L_2 = 3$ ，且对 $n \ge 1$ ， $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ 。序列 $L_1, L_2, L_3, \ldots, L_{2023}$ 中有多少项是偶数？

Let $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ and $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ for $n \ge 1.$ How many terms in the sequence $L_1, L_2, L_3, \ldots, L_{2023}$ are even?

$673$

$1011$

$675$

$1010$

$674$

答案：E

知识点：奇偶性递推找规律

难度评级：1250

解答：

序列从 $1, 3, 4, 7, 11, 18, \ldots$ 可见奇偶性为奇、奇、偶，并以周期 $3$ 重复。因此 $L_n$ 为偶数当且仅当 $3 \mid n$ 。在 $1 \le n \le 2023$ 中， $3$ 的倍数有 $\lfloor 2023/3 \rfloor = 674$ 个。所以正确答案是 E。

Track the parities: $1, 3, 4, 7, 11, 18, \ldots$ run odd, odd, even, then repeat with period $3.$ So $L_n$ is even exactly when $3 \mid n.$ Among $1 \le n \le 2023,$ that's $\lfloor 2023/3 \rfloor = 674$ multiples of $3.$ Therefore, the answer is E.

2023 AMC 10B 第 6 题

答案：E

难度评级：1250

解答：

其他年份的第 6 题