2023 AMC 10B 第 12 题

Question

将多项式

P(x) = (x-1)^1(x-2)^2(x-3)^3 \cdots (x-10)^{10}

的根从实数轴上去掉后，剩余部分是

11

个不相交开区间的并。在其中多少个区间上

P(x)

为正？

When the roots of the polynomial

P(x) = (x-1)^1(x-2)^2(x-3)^3 \cdots (x-10)^{10}

are removed from the real number line, what remains is the union of

11

disjoint open intervals. On how many of those intervals is

P(x)

positive?

3

7

6

4

5

答案：C

知识点：多项式奇偶性不等式

难度评级：1560

小提示：

当

x \gt 10

时，每个因子都为正；

P

的符号只能在根处改变。

For

x \gt 10

every factor is positive; the sign of

P

can only change at a root

大提示：

穿过根

x = i

时，只有指数

i

为奇数才会变号。

Crossing the root

x = i

flips the sign exactly when the exponent

i

is odd

解答：

当

x \gt 10

时，每个因子

(x - i)^i

都为正，所以

P(x) \gt 0

。向左移动时，穿过

x = i

只有在

i

为奇数时才变号，即

i = 9, 7, 5, 3, 1

。因此十一个区间从右到左的符号依次为

+, +, -, -, +, +, -, -, +, +, -

，其中六个区间上为正。所以正确答案是 C。

For

x \gt 10,

every factor

(x - i)^i

is positive, so

P(x) \gt 0.

Now move left. Crossing

x = i

flips the sign only when

i

is odd, that is at

i = 9, 7, 5, 3, 1.

So the eleven intervals, right to left, carry signs

+, +, -, -, +, +, -, -, +, +, -.

Six are positive. Therefore, the answer is C.

2023 AMC 10B 第 12 题

答案：C

难度评级：1560

小提示：

大提示：

解答：

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