Question

将多项式的根从实数轴上去掉后，剩余部分是 $11$ 个不相交开区间的并。在其中多少个区间上 $P(x)$ 为正？ $P(x) = \prod_{i=1}^{10} (x - i)^i$

When the roots of the polynomial $P(x) = \prod_{i=1}^{10} (x - i)^i$ are removed from the real number line, what remains is the union of $11$ disjoint open intervals. On how many of those intervals is $P(x)$ positive?

$3$

$7$

$6$

$4$

$5$

答案：C

知识点：多项式奇偶性不等式

难度评级：1560

解答：

当 $x \gt 10$ 时，每个因子 $(x - i)^i$ 都为正，所以 $P(x) \gt 0$ 。向左移动时，穿过 $x = i$ 只有在 $i$ 为奇数时才变号，即 $i = 9, 7, 5, 3, 1$ 。因此十一个区间从右到左的符号依次为 $+, +, -, -, +, +, -, -, +, +, -$ ，其中六个区间上为正。所以正确答案是 C。

For $x \gt 10,$ every factor $(x - i)^i$ is positive, so $P(x) \gt 0.$ Now move left. Crossing $x = i$ flips the sign only when $i$ is odd, that is at $i = 9, 7, 5, 3, 1.$ So the eleven intervals, right to left, carry signs $+, +, -, -, +, +, -, -, +, +, -.$ Six are positive. Therefore, the answer is C.

2023 AMC 10B 第 12 题

答案：C

难度评级：1560

解答：

其他年份的第 12 题