Question

由 $A(1, 2)$ 和 $B(3, 3)$ 形成的线段，绕点 $P(r, s)$ 旋转后变成由 $A'(3, 1)$ 和 $B'(4, 3)$ 形成的线段。求 $|r - s|$ 。

The line segment formed by $A(1, 2)$ and $B(3, 3)$ is rotated to the line segment formed by $A'(3, 1)$ and $B'(4, 3)$ about the point $P(r, s).$ What is $|r - s|?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{2}{3}$

$1$

答案：E

知识点：变换垂直平分线坐标几何

难度评级：1730

解答：

旋转使中心到每个点及其像的距离相等。因此 $P$ 到 $A$ 和 $A'$ 等距，也到 $B$ 和 $B'$ 等距，所以它是两条垂直平分线的交点。从 $(3,3)$ 到 $(4,3)$ 的线段 $BB'$ 的垂直平分线是 $x = 3.5$ 。从 $(1,2)$ 到 $(3,1)$ 的线段 $AA'$ 的垂直平分线是 $2x - y = 2.5$ 。于是 $y = 2(3.5) - 2.5 = 4.5$ ，所以 $P = (3.5, 4.5)$ ， $|r - s| = |3.5 - 4.5| = 1$ 。因此，正确答案是 E。

A rotation keeps its center equidistant from each point and its image. So $P$ is equidistant from $A$ and $A',$ and from $B$ and $B',$ which puts it at the intersection of two perpendicular bisectors. The bisector of $BB'$ from $(3,3)$ to $(4,3)$ is $x = 3.5.$ The bisector of $AA'$ from $(1,2)$ to $(3,1)$ is $2x - y = 2.5.$ Then $y = 2(3.5) - 2.5 = 4.5,$ so $P = (3.5, 4.5)$ and $|r - s| = |3.5 - 4.5| = 1.$ Thus, E is the correct answer.

2023 AMC 10A 第 19 题

答案：E

难度评级：1730

解答：

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