Question

设 $ABCD$ 是一个菱形，且 $\angle ADC = 46^\circ$ 。设 $E$ 是 $\overline{CD}$ 的中点， $F$ 是 $\overline{BE}$ 上的一点，并且 $\overline{AF}$ 垂直于 $\overline{BE}$ 。求 $\angle BFC$ 的度数。

Let $ABCD$ be a rhombus with $\angle ADC = 46^\circ.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{CD},$ and let $F$ be the point on $\overline{BE}$ such that $\overline{AF}$ is perpendicular to $\overline{BE}.$ What is the degree measure of $\angle BFC?$

$\ 110$

$\ 111$

$\ 112$

$\ 113$

$\ 114$

答案：D

知识点：导角圆内接四边形圆周角

难度评级：2150

解答：

延长 $\overline{BE}$ ，与直线 $AD$ 相交于 $G.$ 因为 $AD\parallel BC,$ 所以 $\angle GDE=\angle ECB,$ 而 $\angle GED=\angle BEC$ 是对顶角。又有 $DE=EC,$ 所以 $\triangle GDE\cong\triangle BCE.$ 因此 $DG=BC=AD.$

所以 $D$ 是 $\overline{AG}.$ 的中点。以 $D$ 为圆心、经过 $A$ 的圆也经过 $C$ 和 $G.$ 因为 $AF\perp FG,$ 由泰勒斯定理， $F$ 也在这个圆上。

因为 $DG$ 与 $DA,$ 方向相反， $\begin{aligned}\angle GDC&=180^\circ-\angle ADC\\&=134^\circ.\end{aligned}$ 所对弧为 $GC$ 的圆周角 $\angle GFC$ 因此为 $67^\circ.$ 最后， $B,F,G$ 共线，所以 $\angle BFC=180^\circ-67^\circ=113^\circ.$

所以答案是 D。

Extend $\overline{BE}$ to meet line $AD$ at $G.$ Because $AD\parallel BC,$ we have $\angle GDE=\angle ECB,$ and $\angle GED=\angle BEC$ are vertical angles. Also $DE=EC,$ so $\triangle GDE\cong\triangle BCE.$ Hence $DG=BC=AD.$

Thus $D$ is the midpoint of $\overline{AG}.$ The circle centered at $D$ through $A$ also passes through $C$ and $G.$ Since $AF\perp FG,$ Thales' theorem places $F$ on this circle as well.

Because $DG$ is opposite $DA,$ $\begin{aligned}\angle GDC&=180^\circ-\angle ADC\\&=134^\circ.\end{aligned}$ The inscribed angle $\angle GFC$ subtending arc $GC$ is therefore $67^\circ.$ Finally, $B,F,G$ are collinear, so $\angle BFC=180^\circ-67^\circ=113^\circ.$

Thus, the answer is D .

2022 AMC 10B 第 20 题

答案：D

难度评级：2150

解答：

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