2021 AMC 10B Fall 第 6 题

Question

恰有

2021

个不同正因数的最小正整数可写成

m \cdot 6^k

，其中

m

和

k

为整数，且

6

不是

m

的因数。求

m+k

。

The least positive integer with exactly

2021

distinct positive divisors can be written in the form

m \cdot 6^k,

where

m

and

k

are integers and

6

is not a divisor of

m.

What is

m+k?

47

58

59

88

90

答案：B

知识点：因数个数质因数分解最优化

难度评级：1420

小提示：

2021=43\cdot47

。

2021=43\cdot47

大提示：

要使数最小，应把较大的指数放在较小的质数上。

To minimize the number, put the larger exponent on the smaller prime

解答：

开始之前先注意：如果整数

z

的质因数分解可以写成

z=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots\text{，}

那么它共有

(e_1+1)(e_2+1) \cdots

个不同的正因数。

如果所求的数有

2021

个因数，由上面的道理可知

2021=(e_1+1)(e_2+1) \cdots\text{，}

而

2021 = 43\cdot 47

，所以这个数必定形如

p_1^{46}p_2^{42}

或

p^{2020}

。

在这两种形式中，能得到的最小的数是在第一种形式中取

p_1 = 2,p_2=3

，即

2^{46}3^{42} = 16\cdot 6^{42}\text{。}

因此

m=16

k=42\text{，}

所以

m+k = 42+16 = 58\text{。}

所以答案是 B。

Before starting, note that if we can represent the prime factorization of an integer

z

as

z=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots,

then there are

(e_1+1)(e_2+1) \cdots

distinct positive factors.

If the number in question has

2021

factors, by the previous logic,

2021=(e_1+1)(e_2+1) \cdots,

and as the prime factorization of

2021 = 43\cdot 47,

then our number must be

p_1^{46}p_2^{42}

or

p^{2020}.

The smallest number we can make in either of these is making

p_1 = 2,p_2=3

in the first configuration, yielding

2^{46}3^{42} = 16\cdot 6^{42} .

Therefore,

m=16

k=42,

so

m+k = 42+16 = 58.

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Fall 第 6 题

答案：B

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

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