Question

有多少个正整数有序对 $(b,c)$ ，使得 $x^2+bx+c=0$ 和 $x^2+cx+b=0$ 都没有两个不同的实根？

For how many ordered pairs $(b,c)$ of positive integers does neither $x^2+bx+c=0$ nor $x^2+cx+b=0$ have two distinct real solutions?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

答案：B

知识点：二次方程不等式极限情形界定

难度评级：1820

解答：

二次方程没有两个不同实根，当且仅当判别式非正。因此需要也就是 $b^2\le4c$ 且 $c^2\le4b$ 。 $b^2-4c\le0\qquad c^2-4b\le0,$

由 $b^2\le4c$ 得 $b^4\le16c^2$ 。结合 $c^2\le4b$ ，得到 $b^4\le64b$ ，所以 $b\le4$ 。

逐一检查 $b=1,2,3,4$ ，分别得到 $\begin{gathered} (c=1,2),\quad (c=1,2), \\ \quad (c=3),\quad (c=4). \end{gathered}$

因此有序对共有 $2+2+1+1=6$ 个。

所以正确答案是 B。

A quadratic fails to have two distinct real solutions exactly when its discriminant is nonpositive. Thus we need $b^2-4c\le0\qquad c^2-4b\le0,$ or $b^2\le4c$ and $c^2\le4b.$

From $b^2\le4c,$ we get $b^4\le16c^2.$ Combining this with $c^2\le4b$ gives $b^4\le64b,$ so $b\le4.$

Now check $b=1,2,3,4.$ The inequalities give respectively $\begin{gathered} (c=1,2),\quad (c=1,2), \\ \quad (c=3),\quad (c=4). \end{gathered}$

There are $2+2+1+1=6$ ordered pairs.

Thus, B is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 20 题

答案：B

难度评级：1820

解答：

其他年份的第 20 题