Question

一个半径为 $1$ 的圆盘沿边长为 $s > 4$ 的正方形内部滚动一整圈，并扫过面积为 $A$ 的区域。另一个半径为 $1$ 的圆盘沿同一个正方形外部滚动一整圈，并扫过面积为 $2A$ 的区域。 $s$ 可写成 $a+\dfrac{b\pi}{c}$ ，其中 $a,b$ 和 $c$ 为正整数，且 $b$ 与 $c$ 互质。求 $a+b+c$ ？

A disk of radius $1$ rolls all the way around the inside of a square of side length $s > 4$ and sweeps out a region of area $A.$ A second disk of radius $1$ rolls all the way around the outside of the same square and sweeps out a region of area $2A.$ The value of $s$ can be written as $a+\dfrac{b\pi}{c},$ where $a,b,$ and $c$ are positive integers and $b$ and $c$ are relatively prime. What is $a+b+c?$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

答案：A

知识点：面积分割圆面积

难度评级：2090

解答：

内圆盘圆心扫出的内侧正方形边长为 $s - 4.$

四个角还有一些小区域，它们的总面积为 $(1 + 1)^2 - \pi 1^2 = 4 - \pi.$

因此 $A = s^2 - (s - 4)^2 - (4 - \pi)$ $= 8s - 20 + \pi.$

外圆盘扫出的区域由 $4$ 个长方形和 $4$ 个四分之一圆组成。每个长方形的面积为 $s \cdot 2 = 2s$ ，四个四分之一圆合成一个半径为 $2$ 、面积为 $4 \pi.$ 的圆。

所以 $2A = 8s + 4 \pi.$

令两个表达式相等，得到 $8s + 4 \pi = 2(8s - 20 + \pi).$ 解得 $8s = 40 + 2 \pi$ $s = 5 + \dfrac{\pi}{4}.$

所以正确答案是 A。

The side length of the inner square traced out by the inner circle is $s - 4.$

There are also the small pieces remaining in the corner. These form a total area of $(1 + 1)^2 - \pi 1^2 = 4 - \pi.$

Therefore, $A = s^2 - (s - 4)^2 - (4 - \pi)$ $= 8s - 20 + \pi.$

The outer disk traces out an area that is comprised of $4$ rectangles and $4$ quarter-circles. The rectangles have area $s \cdot 2 = 2s$ and the quarter-circles form a circle with radius $2$ and area $4 \pi.$

This gives us $2A = 8s + 4 \pi.$

Equating the two equations we get $8s + 4 \pi = 2(8s - 20 + \pi).$ Solving yields $8s = 40 + 2 \pi$ $s = 5 + \dfrac{\pi}{4}.$

Thus, A is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 19 题

答案：A

难度评级：2090

解答：

其他年份的第 19 题