2021 AMC 10A Fall 第 19 题

Question

一个半径为

1

的圆盘沿边长为

s > 4

的正方形内部滚动一整圈，并扫过面积为

A

的区域。另一个半径为

1

的圆盘沿同一个正方形外部滚动一整圈，并扫过面积为

2A

的区域。

s

可写成

a+\dfrac{b\pi}{c}

，其中

a

，

b

和

c

为正整数，且

b

与

c

互质。求

a+b+c

？

A disk of radius

1

rolls all the way around the inside of a square of side length

s > 4

and sweeps out a region of area

A.

A second disk of radius

1

rolls all the way around the outside of the same square and sweeps out a region of area

2A.

The value of

s

can be written as

a+\dfrac{b\pi}{c},

where

a,

b,

and

c

are positive integers and

b

and

c

are relatively prime. What is

a+b+c?

10

11

12

13

14

答案：A

知识点：面积分割圆面积

难度评级：2090

小提示：

把内部扫过面积看成边界带状区域。

Find the swept area inside as a boundary band

大提示：

外部扫过面积由

4

个长方形和

4

个四分之一圆组成。

Outside, the swept area is

4

rectangles plus

4

quarter-circles

解答：

内圆盘圆心扫出的内侧正方形边长为

s - 4

。

四个角还有一些小区域，它们的总面积为

(1 + 1)^2 - \pi 1^2 = 4 - \pi\text{。}

因此

A = s^2 - (s - 4)^2 - (4 - \pi)

= 8s - 20 + \pi\text{。}

外圆盘扫出的区域由

4

个长方形和

4

个四分之一圆组成。每个长方形的面积为

s \cdot 2 = 2s

，四个四分之一圆合成一个半径为

2

、面积为

4 \pi

的圆。

所以

2A = 8s + 4 \pi\text{。}

令两个表达式相等，得到

8s + 4 \pi = 2(8s - 20 + \pi)\text{。}

解得

8s = 40 + 2 \pi

s = 5 + \dfrac{\pi}{4}\text{。}

所以正确答案是 A。

The side length of the inner square traced out by the inner circle is

s - 4.

There are also the small pieces remaining in the corner. These form a total area of

(1 + 1)^2 - \pi 1^2 = 4 - \pi.

Therefore,

A = s^2 - (s - 4)^2 - (4 - \pi)

= 8s - 20 + \pi.

The outer disk traces out an area that is comprised of

4

rectangles and

4

quarter-circles. The rectangles have area

s \cdot 2 = 2s

and the quarter-circles form a circle with radius

2

and area

4 \pi.

This gives us

2A = 8s + 4 \pi.

Equating the two equations we get

8s + 4 \pi = 2(8s - 20 + \pi).

Solving yields

8s = 40 + 2 \pi

s = 5 + \dfrac{\pi}{4}.

Thus, A is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 19 题

答案：A

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

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