Question

一个边长为 $8$ 的正方形中，除了 $4$ 个角上腿长为 $2$ 的阴影等腰直角三角形，以及正方形中心一个边长为 $2\sqrt{2}$ 的阴影菱形外，其余部分都不涂阴影，如图所示。

一枚直径为 $1$ 的圆形硬币落到正方形上，并随机落在一个使硬币完全包含在正方形内的位置。硬币覆盖到正方形阴影区域一部分的概率可写成 $\frac{1}{196}\left(a+b\sqrt{2}+\pi\right)$ ，其中 $a$ 与 $b$ 是正整数。 $a+b$ 等于多少？

A square with side length $8$ is colored white except for $4$ black isosceles right triangular regions with legs of length $2$ in each corner of the square and a black diamond with side length $2\sqrt{2}$ in the center of the square, as shown in the diagram.

A circular coin with diameter $1$ is dropped onto the square and lands in a random location where the coin is completely contained within the square. The probability that the coin will cover part of the black region of the square can be written as $\frac{1}{196}\left(a+b\sqrt{2}+\pi\right),$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$64$

$66$

$68$

$70$

$72$

答案：C

知识点：几何概率面积分割

难度评级：2390

解答：

硬币半径为 $\frac12$ ，所以它的圆心均匀分布在一个 $7\times7$ 的正方形内，该区域面积为 $49$ 。

对每个角上的阴影三角形，能覆盖到它的圆心位置是在允许区域内距离该三角形不超过 $\frac12$ 的点集。每个角对应一个高为 $\frac{1+\sqrt2}{2}$ 的等腰直角三角形，所以面积为

$\left(\frac{1+\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{3+2\sqrt2}{4}.$

四个角合计贡献 $3+2\sqrt2$ 。

中心阴影菱形是一个边长为 $2\sqrt2$ 的正方形。把它向外扩张距离 $\frac12$ ，除了菱形本身面积 $8$ ，还增加总面积 $4\sqrt2$ 的四个矩形，以及合起来面积为 $\frac\pi4$ 的四个四分之一圆。因此中心部分贡献

$8+4\sqrt2+\frac\pi4.$

有利面积为

$\begin{aligned} &3+2\sqrt2+8+4\sqrt2+\frac\pi4 \\ &=11+6\sqrt2+\frac\pi4. \end{aligned}$

概率为

$\begin{aligned} &\frac{11+6\sqrt2+\frac\pi4}{49} \\ &=\frac{44+24\sqrt2+\pi}{196}. \end{aligned}$

所以 $a+b=44+24=68$ 。

所以答案是 C。

The coin has radius $\frac12,$ so its center is uniformly distributed over a $7\times7$ square of area $49.$

A shaded corner triangle contributes the set of center positions within distance $\frac12$ of that triangle, inside the allowed center square. For each corner this is a right isosceles triangle whose altitude is $\frac{1+\sqrt2}{2},$ so its area is

$\left(\frac{1+\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{3+2\sqrt2}{4}.$

All four corners contribute $3+2\sqrt2.$

The center shaded diamond is a square of side $2\sqrt2.$ Expanding it by distance $\frac12$ adds four rectangles of total area $4\sqrt2$ and four quarter-circles of total area $\frac\pi4,$ in addition to the diamond's area $8.$ Thus the center contribution is

$8+4\sqrt2+\frac\pi4.$

The favorable area is

$\begin{aligned} &3+2\sqrt2+8+4\sqrt2+\frac\pi4 \\ &=11+6\sqrt2+\frac\pi4. \end{aligned}$

The probability is

$\begin{aligned} &\frac{11+6\sqrt2+\frac\pi4}{49} \\ &=\frac{44+24\sqrt2+\pi}{196}. \end{aligned}$

So $a+b=44+24=68.$

Thus, the answer is C .

2021 AMC 10B Spring 第 23 题

答案：C

难度评级：2390

解答：

其他年份的第 23 题