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2019 AMC 10B 第 6 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

6.

正整数 nn 满足方程 求 nn 的各位数字之和。 (n+1)!+(n+2)!=n!⋅440.(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440.

A positive integer nn satisfies the equation (n+1)!+(n+2)!=n!⋅440.(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440. What is the sum of the digits of n?n?

22

55

1010

1212

1515

答案：C
知识点：阶乘代数变形数字
难度评级：1190
解答：

左边可改写为 所以 因此 得 n=19n=19。各位数字和为 1010。 (n+1)n!+(n+2)(n+1)n!(n+1)n!+(n+2)(n+1)n! =((n+2)2−1)n!,=((n+2)^2-1)n!, ((n+2)2−1)n!=440n!((n+2)^2-1) n! = 440 n! (n+2)2=441,(n+2)^2=441,

所以答案是 C。

We can rewrite the left side as (n+1)n!+(n+2)(n+1)n!(n+1)n!+(n+2)(n+1)n!=((n+2)2−1)n!,=((n+2)^2-1)n!, so ((n+2)2−1)n!=440n!((n+2)^2-1) n! = 440 n! Therefore, (n+2)2=441,(n+2)^2=441, so n=19.n=19. The sum of its digits is 10.10.

Thus, the answer is C .

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