2019 AMC 10B 第 6 题

先试着解答 2019 AMC 10B 第 6 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2019 AMC 10B 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

6.

正整数

n

满足方程

(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440\text{。}

求

n

的各位数字之和。

A positive integer

n

satisfies the equation

(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440.

What is the sum of the digits of

n?

2

5

10

12

15

答案：C

知识点：阶乘代数变形数字

难度评级：1190

小提示：

把

(n+1)!

和

(n+2)!

都用

n!

表示。

Factor

(n+1)!

and

(n+2)!

in terms of

n!

大提示：

除以

n!

，再解得到的二次方程。

Divide by

n!

and solve the resulting square equation

解答：

左边可改写为

(n+1)n!+(n+2)(n+1)n!

=((n+2)^2-1)n!\text{，}

所以

((n+2)^2-1) n! = 440 n!

因此

(n+2)^2=441\text{，}

得

n=19

。各位数字和为

10

。

所以答案是 C。

We can rewrite the left side as

(n+1)n!+(n+2)(n+1)n!

=((n+2)^2-1)n!,

so

((n+2)^2-1) n! = 440 n!

Therefore,

(n+2)^2=441,

so

n=19.

The sum of its digits is

10.

Thus, the answer is C .