2019 AMC 10B 第 5 题

Question

三角形

ABC

位于第一象限。点

A

、

B

和

C

关于直线

y=x

的对称点分别为

A'

、

B'

和

C'

。假设三角形的顶点都不在直线

y=x

上。下列哪一项不一定总为真？

Triangle

ABC

lies in the first quadrant. Points

A,

B,

and

C

are reflected across the line

y=x

to points

A',

B',

and

C',

respectively. Assume that none of the vertices of the triangle lie on the line

y=x.

Which of the following statements is not always true?

三角形

A'B'C'

位于第一象限。

Triangle

A'B'C'

lies in the first quadrant.

三角形

ABC

与

A'B'C'

面积相同。

Triangles

ABC

and

A'B'C'

have the same area.

直线

AA'

的斜率为

-1

。

The slope of line

AA'

is

-1.

直线

AA'

与

CC'

的斜率相同。

The slopes of lines

AA'

and

CC'

are the same.

直线

AB

与

A'B'

互相垂直。

Lines

AB

and

A'B'

are perpendicular to each other.

答案：E

知识点：变换坐标几何斜率

难度评级：1020

小提示：

关于

y=x

的反射会保持第一象限和面积。

Reflections preserve area and the first quadrant across

y=x

大提示：

用一条斜率为

1

的简单线段测试关于

AB

的说法。

Test the claim about

AB

with a simple segment of slope

1

解答：

关于

y=x

的反射把

(x,y)

映为

(y,x)

。因此它既保持第一象限，也保持面积，所以选项 A 和 B 必为真。

从

(x,y)

指向它的像

(y,x)

的方向向量是

(y-x,x-y)

，由于

x\ne y

，它的斜率为

-1

。因此选项 C 和 D 也必为真。

对于选项 E，取

A=(2,1)

、

B=(3,2)

和

C=(4,1)

。这些点满足全部条件，但

AB

和

A'B'

的斜率都是

1

，所以这两条直线平行而不是垂直。

所以正确答案是 E。

Reflection across

y=x

sends

(x,y)

to

(y,x)

. It therefore preserves the first quadrant and preserves area, so A and B are always true.

The direction from

(x,y)

to its image

(y,x)

is

(y-x,x-y)

, whose slope is

-1

because

x\ne y

. Thus C and D are always true as well.

For E, take

A=(2,1)

,

B=(3,2)

, and

C=(4,1)

. These points satisfy all the conditions, but

AB

and

A'B'

both have slope

1

, so the two lines are parallel rather than perpendicular.

Thus, the answer is E .

2019 AMC 10B 第 5 题

答案：E

难度评级：1020

小提示：

大提示：

解答：

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