Question

直角三角形 $T_1$ 和 $T_2$ 的面积分别为 $1$ 和 $2$ 。 $T_1$ 的一条边与 $T_2,$ 的一条边全等，并且 $T_1$ 的另一条边与 $T_2.$ 的另一条边全等。 $T_1$ 和 $T_2?$ 的其余（第三条）边的长度之积的平方是多少？

Right triangles $T_1$ and $T_2$ have areas $1$ and $2$ , respectively. A side of $T_1$ is congruent to a side of $T_2,$ and a different side of $T_1$ is congruent to a different side of $T_2.$ What is the square of the product of the lengths of the other (third) sides of $T_1$ and $T_2?$

$\dfrac{28}{3}$

$10$

$\dfrac{21}{2}$

$\dfrac{32}{3}$

$12$

答案：A

知识点：直角三角形勾股定理方程组

难度评级：1820

解答：

设两条共有边的长度为 $a\le b$ 。由于两个三角形的面积不同，这两条共有边在两个三角形中不可能扮演相同角色。因此面积为 $2$ 的三角形以 $a$ 和 $b$ 为两条直角边，而面积为 $1$ 的三角形有一条直角边 $a$ ，另一条直角边为 $\sqrt{b^2-a^2}$ ，斜边为 $b$ 。

两条不共有的第三边之积为 $\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2-a^2}$ ，其平方为 $b^4-a^4$ 。

利用面积， $\dfrac{ab}{2}=2$ ，且 $\dfrac{a\sqrt{b^2-a^2}}{2}=1$ 。因此 $a^2b^2=16$ ，且 $a^2(b^2-a^2)=4$ ，所以 $a^4=12$ 。于是 $b^4=\dfrac{256}{12}=\dfrac{64}{3}$ ，且 $b^4-a^4=\dfrac{28}{3}$ 。所以正确答案是 A。

Let the two shared side lengths be $a\le b$ . Because the triangles have different areas, the shared sides cannot play the same roles in both triangles. Thus the area- $2$ triangle has legs $a$ and $b$ , while the area- $1$ triangle has leg $a$ , other leg $\sqrt{b^2-a^2}$ , and hypotenuse $b$ .

The product of the two non-shared third sides is $\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2-a^2}$ , whose square is $b^4-a^4$ .

Using the areas, $\dfrac{ab}{2}=2$ and $\dfrac{a\sqrt{b^2-a^2}}{2}=1$ . Hence $a^2b^2=16$ and $a^2(b^2-a^2)=4$ , so $a^4=12$ . Then $b^4=\dfrac{256}{12}=\dfrac{64}{3}$ , and $b^4-a^4=\dfrac{28}{3}$ . Thus, A is the correct answer.

2019 AMC 10B 第 15 题

答案：A

难度评级：1820

解答：

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