2019 AMC 10A 第 24 题

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24.

设

p

、

q

和

r

是多项式

x^3 - 22x^2 + 80x - 67

的三个不同的根。存在实数

A

、

B

和

C

，使得

\begin{gathered} \frac{1}{s^3-22s^2+80s-67}\\ =\frac{A}{s-p}+\frac{B}{s-q}\\ \quad+\frac{C}{s-r} \end{gathered}

对每个满足

s\notin\{p,q,r\}

的实数

s

都成立。求下式的值：

\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C\text{。}

Let

p,

q,

and

r

be the distinct roots of the polynomial

x^3 - 22x^2 + 80x - 67.

There exist real numbers

A,

B,

and

C

such that

\begin{gathered} \frac{1}{s^3-22s^2+80s-67}\\ =\frac{A}{s-p}+\frac{B}{s-q}\\ \quad+\frac{C}{s-r} \end{gathered}

for all real numbers

s

with

s\notin\{p,q,r\}.

What is

\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C?

243

244

245

246

247

答案：B

知识点：部分分式韦达定理

难度评级：2390

小提示：

乘以

(s-p)(s-q)(s-r)

。

Multiply by

(s-p)(s-q)(s-r)

大提示：

代入每个根，再使用韦达定理。

Substitute each root, then use Vieta’s formulas

解答：

等式两边同乘

(s-p)(s-q)(s-r)

，得到

\begin{aligned} 1={}&A(s-q)(s-r)\\ &+B(s-p)(s-r)\\ &+C(s-p)(s-q) \end{aligned}\text{。}

依次令

s=p,q,r

，得到

\begin{aligned} \frac1A&=(p-q)(p-r),\\ \frac1B&=(q-p)(q-r),\\ \frac1C&=(r-p)(r-q) \end{aligned}\text{。}

三式相加并展开，得到

\begin{aligned} \frac1A+\frac1B+\frac1C &=p^2+q^2+r^2\\ &\quad-pq-pr-qr \end{aligned}\text{。}

由韦达定理，

p+q+r=22

，

pq+pr+qr=80

，所以

\begin{aligned} p^2+q^2+r^2&=22^2-2(80)\\ &=324 \end{aligned}\text{。}

因此所求的值为

324-80=244

。

所以正确答案是 B。

Multiplying the identity by

(s-p)(s-q)(s-r)

gives

\begin{aligned} 1={}&A(s-q)(s-r)\\ &+B(s-p)(s-r)\\ &+C(s-p)(s-q). \end{aligned}

Setting

s=p,q,r

, in turn, yields

\begin{aligned} \frac1A&=(p-q)(p-r),\\ \frac1B&=(q-p)(q-r),\\ \frac1C&=(r-p)(r-q). \end{aligned}

Adding and expanding gives

\begin{aligned} \frac1A+\frac1B+\frac1C &=p^2+q^2+r^2\\ &\quad-pq-pr-qr. \end{aligned}

By Vieta’s formulas,

p+q+r=22

and

pq+pr+qr=80

, so

\begin{aligned} p^2+q^2+r^2&=22^2-2(80)\\ &=324. \end{aligned}

Therefore the requested value is

324-80=244.

Thus, B is the correct answer.