Question

设 $p$ 、 $q$ 和 $r$ 是多项式的三个不同根。已知存在实数 $A$ 、 $B$ 和 $C$ ，使得对所有 $s$ ，都有求的值。 $s\notin\{p,q,r\}$ 。 $x^3 - 22x^2 + 80x - 67.$ $\begin{gathered} \frac{1}{s^3-22s^2+80s-67}\\ =\frac{A}{s-p}+\frac{B}{s-q}\\ \quad+\frac{C}{s-r} \end{gathered}$ $\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C?$

Let $p,$ $q,$ and $r$ be the distinct roots of the polynomial $x^3 - 22x^2 + 80x - 67.$ There exist real numbers $A,$ $B,$ and $C$ such that $\begin{gathered} \frac{1}{s^3-22s^2+80s-67}\\ =\frac{A}{s-p}+\frac{B}{s-q}\\ \quad+\frac{C}{s-r} \end{gathered}$ for all real numbers $s$ with $s\notin\{p,q,r\}.$ What is $\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C?$

$243$

$244$

$245$

$246$

$247$

答案：B

知识点：部分分式韦达定理

难度评级：2390

解答：

等式两边同乘得到 $(s-p)(s-q)(s-r)$ $s=p,q,r$ $\begin{aligned} 1={}&A(s-q)(s-r)\\ &+B(s-p)(s-r)\\ &+C(s-p)(s-q). \end{aligned}$ $\begin{aligned} \frac1A&=(p-q)(p-r),\\ \frac1B&=(q-p)(q-r),\\ \frac1C&=(r-p)(r-q). \end{aligned}$

展开后得到 $p+q+r=22$ $pq+pr+qr=80$ $324-80=244$ 。 $\begin{aligned} \frac1A+\frac1B+\frac1C &=p^2+q^2+r^2\\ &\quad-pq-pr-qr. \end{aligned}$ $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2&=22^2-2(80)\\ &=324. \end{aligned}$

其中和的系数都必须等于由可得以及将这些关系代入的系数，得到从这个等式中减去，得到此外还有从后一个等式中减去，得到再加上，得到因而同理可得以及于是由韦达定理，又因为所求值为所以正确答案是 B。

Multiplying the identity by $(s-p)(s-q)(s-r)$ gives $\begin{aligned} 1={}&A(s-q)(s-r)\\ &+B(s-p)(s-r)\\ &+C(s-p)(s-q). \end{aligned}$ Setting $s=p,q,r$ , in turn, yields $\begin{aligned} \frac1A&=(p-q)(p-r),\\ \frac1B&=(q-p)(q-r),\\ \frac1C&=(r-p)(r-q). \end{aligned}$

Adding and expanding gives $\begin{aligned} \frac1A+\frac1B+\frac1C &=p^2+q^2+r^2\\ &\quad-pq-pr-qr. \end{aligned}$ By Vieta's formulas, $p+q+r=22$ and $pq+pr+qr=80$ , so $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2&=22^2-2(80)\\ &=324. \end{aligned}$ Therefore the requested value is $324-80=244.$

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 10A 第 24 题

答案：B

难度评级：2390

解答：

其他年份的第 24 题