2018 AMC 10B 第 16 题

Question

设

a_1

，

a_2

，

\ldots

，

a_{2018}

是一个严格递增的正整数数列，且

a_1 + a_2 + \cdots + a_{2018} = 2018^{2018}\text{。}

a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_{2018}^3

除以

6

的余数是多少？

Let

a_1,

a_2,

\ldots,

a_{2018}

be a strictly increasing sequence of positive integers such that

a_1 + a_2 + \cdots + a_{2018} = 2018^{2018}.

What is the remainder when

a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_{2018}^3

is divided by

6?

0

1

2

3

4

答案：E

知识点：模运算整除性

难度评级：1710

小提示：

n^3 \equiv n \pmod 6

，因为

n^3 - n = (n-1)n(n+1)

是三个连续整数的乘积。

n^3 \equiv n \pmod 6,

because

n^3 - n = (n-1)n(n+1)

is a product of three consecutive integers

大提示：

因此立方和同余于

2018^{2018} \pmod 6

；再把它对

6

取模。

So the sum of cubes is congruent to

2018^{2018} \pmod 6;

reduce that modulo

6

解答：

对任意整数

n

，

n^3 - n = (n-1)n(n+1)

是三个连续整数的乘积，所以能被

6

整除。因此

n^3 \equiv n \pmod 6

。求和得到

\sum a_i^3 \equiv \sum a_i

= 2018^{2018} \pmod 6

。因为

2018 \equiv 2 \pmod 6

，而

2

的幂模

6

的余数按

2, 4, 2, 4, \ldots

交替，指数

2018

为偶数，所以

2^{2018} \equiv 4 \pmod 6

，余数为

4

。正确答案是 E。

For any integer

n,

n^3 - n = (n-1)n(n+1)

is a product of three consecutive integers, so it’s divisible by

6.

That means

n^3 \equiv n \pmod 6.

Summing,

\sum a_i^3 \equiv \sum a_i

= 2018^{2018} \pmod 6.

Now

2018 \equiv 2 \pmod 6,

and powers of

2

mod

6

alternate

2, 4, 2, 4, \ldots.

The exponent

2018

is even, so

2^{2018} \equiv 4 \pmod 6.

The remainder is

4.

Therefore, the answer is E.

2018 AMC 10B 第 16 题

答案：E

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

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