Question

设 $a_1, a_2, \ldots, a_{2018}$ 是一个严格递增的正整数数列，且

$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2018} = 2018^{2018}.$

$a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_{2018}^3$ 除以 $6$ 的余数是多少？

Let $a_1, a_2, \ldots, a_{2018}$ be a strictly increasing sequence of positive integers such that

$a_1 + a_2 + \cdots + a_{2018} = 2018^{2018}.$

What is the remainder when $a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_{2018}^3$ is divided by $6?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：E

知识点：模运算整除性

难度评级：1710

解答：

对任意整数 $n$ ， $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ 是三个连续整数的乘积，所以能被 $6$ 整除。因此 $n^3 \equiv n \pmod 6$ 。求和得到 $\sum a_i^3 \equiv \sum a_i$ $= 2018^{2018} \pmod 6$ 。因为 $2018 \equiv 2 \pmod 6$ ，而 $2$ 的幂模 $6$ 的余数按 $2, 4, 2, 4, \ldots$ 交替，指数 $2018$ 为偶数，所以 $2^{2018} \equiv 4 \pmod 6$ ，余数为 $4$ 。正确答案是 E。

For any integer $n,$ $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ is a product of three consecutive integers, so it's divisible by $6.$ That means $n^3 \equiv n \pmod 6.$ Summing, $\sum a_i^3 \equiv \sum a_i$ $= 2018^{2018} \pmod 6.$ Now $2018 \equiv 2 \pmod 6,$ and powers of $2$ mod $6$ alternate $2, 4, 2, 4, \ldots.$ The exponent $2018$ is even, so $2^{2018} \equiv 4 \pmod 6.$ The remainder is $4.$ Therefore, the answer is E.

2018 AMC 10B 第 16 题

答案：E

难度评级：1710

解答：

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