Question

两个半径为 $5$ 的圆彼此外切，并且都内切于一个半径为 $13$ 的圆，切点分别为 $A$ 和 $B$ ，如图所示。距离 $AB$ 可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 与 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 。

Two circles of radius $5$ are externally tangent to each other and are internally tangent to a circle of radius $13$ at points $A$ and $B,$ as shown in the diagram. The distance $AB$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$21$

$29$

$58$

$69$

$93$

答案：D

知识点：相切圆相似

难度评级：1820

解答：

设大圆的圆心为 $X$ ，两个小圆的圆心分别为 $Y,Z$ 。则 $XY=XZ=13-5=8$ ，且 $YZ=10$ 。

切点处的半径共线，因此 $XA$ 与 $XY$ 共线， $XB$ 与 $XZ$ 共线，于是 $\triangle XAB\sim \triangle XYZ$ 。所以 $\dfrac{AB}{YZ}=\dfrac{XA}{XY}=\dfrac{13}{8}$ 。

因此 $AB=10\cdot\dfrac{13}{8}=\dfrac{65}{4}$ ，从而 $m+n=65+4=69$ 。所以正确答案是 D。

Let $X$ be the center of the large circle and let $Y,Z$ be the centers of the two smaller circles. Then $XY=XZ=13-5=8$ and $YZ=10$ .

The radii to tangent points make $XA$ collinear with $XY$ and $XB$ collinear with $XZ$ , so $\triangle XAB\sim \triangle XYZ$ . Thus $\dfrac{AB}{YZ}=\dfrac{XA}{XY}=\dfrac{13}{8}$ .

Hence $AB=10\cdot\dfrac{13}{8}=\dfrac{65}{4}$ , so $m+n=65+4=69$ . Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A 第 15 题

答案：D

难度评级：1820

解答：

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