2018 AMC 10A 第 15 题

Question

两个半径为

5

的圆彼此外切，并且都内切于一个半径为

13

的圆，切点分别为

A

和

B

，如图所示。距离

AB

可写成

\frac{m}{n}

，其中

m

与

n

是互质的正整数。求

m+n

。

Two circles of radius

5

are externally tangent to each other and are internally tangent to a circle of radius

13

at points

A

and

B,

as shown in the diagram. The distance

AB

can be written in the form

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. What is

m+n?

21

29

58

69

93

答案：D

知识点：相切圆相似

难度评级：1820

小提示：

连接三个圆的圆心。

Join the three circle centers

大提示：

包含切点的三角形与圆心三角形相似。

The triangle through tangent points is similar to the triangle through centers

解答：

设大圆的圆心为

X

，两个小圆的圆心分别为

Y,Z

。则

XY=XZ=13-5=8

，且

YZ=10

。

切点处的半径共线，因此

XA

与

XY

共线，

XB

与

XZ

共线，于是

\triangle XAB\sim \triangle XYZ

。所以

\dfrac{AB}{YZ}=\dfrac{XA}{XY}=\dfrac{13}{8}

。

因此

AB=10\cdot\dfrac{13}{8}=\dfrac{65}{4}

，从而

m+n=65+4=69

。所以正确答案是 D。

Let

X

be the center of the large circle and let

Y,Z

be the centers of the two smaller circles. Then

XY=XZ=13-5=8

and

YZ=10

.

The radii to tangent points make

XA

collinear with

XY

and

XB

collinear with

XZ

, so

\triangle XAB\sim \triangle XYZ

. Thus

\dfrac{AB}{YZ}=\dfrac{XA}{XY}=\dfrac{13}{8}

.

Hence

AB=10\cdot\dfrac{13}{8}=\dfrac{65}{4}