Question

长方形 $ABCD$ 中， $AB=5$ ， $BC=4$ 。点 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上且 $EB=1$ ，点 $G$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $CG=1$ ，点 $F$ 在 $\overline{CD}$ 上且 $DF=2$ 。线段 $\overline{AG}$ 与 $\overline{AC}$ 分别在 $Q$ 与 $P$ 处和 $\overline{EF}$ 相交。求 $\dfrac{PQ}{EF}$ 。

Rectangle $ABCD$ has $AB=5$ and $BC=4.$ Point $E$ lies on $\overline{AB}$ so that $EB=1,$ point $G$ lies on $\overline{BC}$ so that $CG=1,$ and point $F$ lies on $\overline{CD}$ so that $DF=2.$ Segments $\overline{AG}$ and $\overline{AC}$ intersect $\overline{EF}$ at $Q$ and $P,$ respectively. What is the value of $\dfrac{PQ}{EF}?$

$~\dfrac{\sqrt{3}}{16}$

$~\dfrac{\sqrt{2}}{13}$

$~\dfrac{9}{82}$

$~\dfrac{10}{91}$

$~\dfrac19$

答案：D

知识点：相似平行线矩形

难度评级：1970

解答：

先计算又因为 $AE=AB-EB=4$ ，所以 $FC=DC-DF=3$ 。于是因此 $AE\parallel FC$ ， $AEP$ $CFP$ $\frac{PF}{EF}=\frac37$ 。 $\frac{PF}{PE}=\frac{FC}{AE}=\frac34,$

令 $X$ 为 $AG$ 的延长线与 $CD$ 的交点。由平行线比例，所以因此又因为 $BG=3$ ，所以 $DX=\frac{20}{3}$ 。于是因此 $FX=DX-DF=\frac{14}{3}$ 。 $AE\parallel FX$ ， $AEQ$ $XFQ$ $\frac{QF}{EF}=\frac7{13}$ 。 $\frac{AD}{DX}=\frac{BG}{AB},\qquad \frac4{DX}=\frac35,$ $\frac{QF}{QE}=\frac{FX}{AE}=\frac76.$

因此 $\begin{aligned} \frac{PQ}{EF}&=\frac{QF}{EF}-\frac{PF}{EF} \\ &=\frac7{13}-\frac37=\frac{10}{91}. \end{aligned}$

所以正确答案是 D。

We have $AE=AB-EB=4$ and $FC=DC-DF=3.$ Since $AE\parallel FC,$ the triangles $AEP$ and $CFP$ are similar. Therefore $\frac{PF}{PE}=\frac{FC}{AE}=\frac34,$ so $\frac{PF}{EF}=\frac37.$

Extend $AG$ to meet line $CD$ at $X.$ Because $BG=3,$ similarity gives $\frac{AD}{DX}=\frac{BG}{AB},\qquad \frac4{DX}=\frac35,$ and hence $DX=\frac{20}{3}$ . Thus $FX=DX-DF=\frac{14}{3}.$ Since $AE\parallel FX,$ triangles $AEQ$ and $XFQ$ are similar, so $\frac{QF}{QE}=\frac{FX}{AE}=\frac76.$ Consequently $\frac{QF}{EF}=\frac7{13}.$

It follows that $\begin{aligned} \frac{PQ}{EF}&=\frac{QF}{EF}-\frac{PF}{EF} \\ &=\frac7{13}-\frac37=\frac{10}{91}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D .

2016 AMC 10B 第 19 题

答案：D

难度评级：1970

解答：

其他年份的第 19 题