Question

对某个特定的 $N$ ，展开 $(a+b+c+d+1)^N$ 并合并同类项后，所得表达式中恰好有 $1001$ 项同时包含四个变量 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ ，且每个变量的指数都为正。求 $N$ 。

For some particular value of $N,$ when $(a+b+c+d+1)^N$ is expanded and like terms are combined, the resulting expression contains exactly $1001$ terms that include all four variables $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ each to some positive power. What is $N?$

$9$

$14$

$16$

$17$

$19$

答案：B

知识点：隔板法组合

难度评级：1660

解答：

同时包含四个变量的项形如 $a^vb^wc^xd^y$ ，其中 $v,w,x,y\ge1$ ，还可乘以 $1$ 的某个幂 $z$ 。 $v+w+x+y+z=N.$

从 $v,w,x,y$ 各减去 $1$ 后，得到 $5$ 个非负整数，其和为 $N-4$ 。因此这样的项数为 $\binom{N}{4}.$

由于 $\binom{14}{4}=1001$ ，所以 $N=14$ 。

所以正确答案是 B。

A term that includes all four variables has form $a^vb^wc^xd^y$ , with $v,w,x,y\ge1$ , multiplied by some power of $1$ . If that power is $z$ , then $v+w+x+y+z=N.$

After subtracting $1$ from each of $v,w,x,y$ , this becomes a nonnegative stars-and-bars count with $5$ variables summing to $N-4$ . The number of such terms is $\binom{N}{4}.$

Since $\binom{14}{4}=1001$ , we get $N=14$ .

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 10A 第 20 题

答案：B

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 20 题